40_仿真验证 07 —— GetDP 能量法提电感实战：从两个空白文件到 µH 级核对

本篇回答的问题：反激变压器设计与电感深潜都在手算电感（安匝→气隙→AL 值）；本篇给出器件级验证手段——开源 FEM（Gmsh+GetDP 磁静场）把磁场能算出来，再用 L=2W/I² 提电感，与解析公式核对。全流程本机实际运行，模型文件已归档 90_资料源/getdp_能量法/。 实测声明：Gmsh 4.13.1 + GetDP 3.5.0（Debian 仓库），2026-10-01 本机三次运行（I=0.5/1/2 A）结果全记录在 §3。 与库内的关系：能量法正是变压器篇 §3“气隙储能占比 99%”论证的反向应用（那里用储能论证气隙主导，这里用储能定义提取 L）；双线回路解析公式属教科书通识；对磁件设计流程的“验证”环是器件级补全。

本篇总结

最小可运行的磁 FEA 只要两个文本文件：loop.geo（几何+区域标签）+ loop.pro（材料+源+求解+导出）——不需要 GUI，两条命令出结果（本机全流程 <2 s）。
能量法三步：给定电流 I 解磁场 → W=∫½ν|B|²dV → L=2W/I²。线性介质下 L 与 I 无关——本篇用三点电流扫描把这条性质实测成恒等式（0.5/1/2 A 三次运行，L' 恒为 1.2307 µH/m）。
解析核对差值的完整分解（经练习①边界收敛实测修正归因）：初稿将 −5.1% 全部归因于“有限 Dirichlet 边界”；D=600 mm 实测推翻该归因——本例导体是 1×1 mm² 方截面，严格解析口径为几何平均距离法 1.2430 µH/m（不是内切圆导线近似的 1.2973），按 GMD 口径边界镜像效应只占 −0.99%（D=60）→ −0.28%（D=600），占比最大的 −4.2% 来自截面模型口径差。修正记录见 §3。
GetDP 语法四类陷阱均已实测复现（§4）：模板组名约定、.geo 不支持 abs()、PostOperation 没有 Integral 操作、Format Excel 不存在——每个报错的原文与修法都在。
同一方法可直接迁移至变压器计算：把“一对反向导体”换成“双绕组+磁芯”，串助/串反两次仿真取差得 M 与漏感 Lσ（§5 给出改造清单；数值留作练习，不虚构数据）。
工具链定位：FEMM 本机不可装（Debian 无包），Gmsh+GetDP 组合即可完成磁静场全套——与 01 工具总览的“磁件手算+FEA 验证”路线一致。

1. 装环境（两条命令）

sudo apt install gmsh getdp
gmsh --version    # 本机 4.13.1
getdp --version   # 本机 3.5.0

模板库路径（后面 Include 要用）：/usr/share/doc/getdp/examples/templates/，例程：/usr/share/doc/getdp/examples/examples/。

2. 两个文件怎么写（全文已归档）

归档：loop.geo、loop.pro、loop.msh（生成网格，可跳过 gmsh 直接重复运行）。

2.1 loop.geo 的设计要点

lc = 0.15e-3;   // 导体区网格 0.15mm（1mm 见方导体里给 ~10 单元）
lca = 6e-3;     // 空气区粗网格
a = 0.5e-3;     // 导体半宽 → 1×1mm² 截面
d = 5e-3;       // 半间距 → 两导体中心距 10mm
D = 60e-3;      // 方形空气域 ±60mm（外边界 A=0）

几何全部矩形：两根 1×1 mm 方截面导体在 x=±5mm、y=0 附近，各 4 点 4 线 1 面；外框 4 点 4 线；
空气域 = 外框减去两导体：Plane Surface(3) = {3,1,2};（带孔面的标准写法）；
物理标签：101=CoilPlus（+z 电流）、102=CoilMinus（−z）、103=Air、200=外边界四条线；
每根导体截面 1e-6 m²、给 1e6 A/m² → I=1 A，换算直接。

2.2 loop.pro 的设计要点（关键是“填充模板”）

GetDP 官方磁静场模板 Lib_Magnetostatics_a_phi.pro 无需自行编写方程——只需按约定名填组、填函数：

Group {
  Vol_Mag    = Region[{CoilP, CoilM, Air}];   // 全磁域
  Vol_S0_Mag = Region[{CoilP, CoilM}];        // 规定电流密度区（"S0"）
  Sur_Dir_Mag 或 Dirichlet_a_0                // A=0 边界（本例用后者）
}
Function {
  nu[Vol_Mag] = 1/mu0;                        // 线性介质
  js[CoilP] = Vector[0., 0.,  1e6];           // 源电流密度
  js[CoilM] = Vector[0., 0., -1e6];
}
Constraint { { Name a ; Case { { Region Dirichlet_a_0 ; Value 0. ; } } } }
Include "/usr/share/doc/getdp/examples/templates/Lib_Magnetostatics_a_phi.pro"

求解名固定 Magnetostatics_a（矢量位 A 公式）；
后处理 Print[ b, ... ] 导出逐单元 B 场到 b.pos（能量在外部算，§3）。

2.3 跑起来

gmsh -2 loop.geo -o loop.msh            # 2D 网格
getdp loop -solve Magnetostatics_a -pos B   # 解 + 导出 b.pos

3. 实测：能量法 + 线性三点 + 解析核对

能量在后处理算（ν 全域常数，直接求和）：对 b.pos 每个三角单元 VT(坐标){B值} 取面积 A、单元中心 |B|²，

$$W' = \sum \tfrac12 \nu |B|^2 A, \qquad L' = \frac{2W'}{I^2}\ \ (\mathrm{H/m})$$

本机三跑实测（改 js 幅值，其余不动）：

I	W′	L′=2W/I²
0.5 A	0.1538 µJ/m	1.2307 µH/m
1 A	0.6154 µJ/m	1.2307 µH/m
2 A	2.4615 µJ/m	1.2307 µH/m

W ∝ I² 严格成立（1 : 4 : 16 到打印位数），线性介质性质实测确认；
解析对照（初稿口径）：双线回路外链 µ0/π·arccosh(d/2a) 加每根 µ0/8π 内链 = 1.2973 µH/m → FEA −5.1%，初稿将全部差值归因于“有限 Dirichlet 边界镜像效应”；
练习①实测（已完成，归因修正）：仅改外框 D=60→600 mm 重网格重解（loop_600.{geo,msh,pro} 已归档，242k 单元 / 120535 自由度，秒级），L′ = 1.2395 µH/m。若初稿归因成立，边界效应应按 1/D² 量级坍缩，误差应收窄到 1% 以下；实际只收窄 0.7 个百分点——说明大头不在边界。深查发现口径错误：本例导体是 1×1 mm² 方截面，上面公式隐含内切圆 r=0.5 mm 圆导线。方截面均匀电流密度的严格解走几何平均距离（GMD）法 L′=(µ0/π)·ln(Dm/GMDs)：自 GMD 0.4471 mm（数值二重积分；方法用圆盘精确解 e^(−1/4)r=0.38946 mm 验证，偏差 5×10⁻⁵），互 GMD 10.000 mm → 严格解析 1.2430 µH/m。按此口径重算：D=60 mm −0.99%、D=600 mm −0.28%——Dirichlet 边界确按 1/D² 快速收敛；原 −5.1% = 截面模型口径差 −4.2% + 边界镜像 −1.0%。

读法：不跑 D=600，“−5.1% 全记在边界名下”的口径错误不会暴露——FEA 的价值恰恰在于用收敛性研究检验“看似自洽的归因”。方法验证本身依旧成立：三电流点 L′ 恒等、线性介质与边界行为符合预期、对严格解析 −0.28%（D=600）。

4. 语法陷阱（本机真实报错记录）

#	报错原文（节选）	根因	修法
1	`Unknown variable 'abs(.)'`	Gmsh `.geo` 脚本函数集没有 `abs()`	老老实实逐条写 `Line(1)=...`
2	`Constraint 'phi' is not provided` + 自己的 Formulation 语法错误	以为要自己写方程块	别写——Include 官方模板，按约定组名填 `Vol_Mag/Vol_S0_Mag/js` 即可（phi 警告无害）
3	`syntax error (Integral)`	PostOperation 里没有 `Integral[...]` 这个操作	能量在外部算：导出 `b.pos` 用脚本积分（或后续再用 GetDP 自定义后处理）
4	`Unknown PostProcessing Format: Excel`	GetDP 3.5 不认该格式名	`Print[ b, ..., File "b.pos" ]` 默认格式即可

5. 搬到真问题上：双绕组变压器/电感怎么改

改 .geo（加磁芯多区域、两个窗口绕组区标 104/105 匝数标签）与 .pro（nu[Core]=1/(µr·µ0) 线性起步、js 按 NI/A_window 换算）后：

自感：一次只给一个绕组通电，L1=2W/I²；
互感（能量差法）：两绕组串助（同向）得 W_a、串反（反向）得 W_r： $$M=\frac{W_a-W_r}{4I^2},\qquad k=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}$$
漏感（对应库内“漏感 1%~3% 预算”的验证）：理想耦合储能 W_ideal=½(L1+L2+2M)I² 对实际场能之差即漏能，Lσ=2(W_ideal−W)/I²——与 §3 的公式同源；
磁芯饱和核对：把线性 nu 换成 B-H 曲线（模板支持 SteelGeneric_nu 式非线性函数），看 B 云图是否出现 >0.2 T 集中区——对应变压器设计 §3 的 ΔB 核算；
练习②（参数勘误 + 几何线实证，场求解已封存）：RM8 档单层电感复算。初稿误把 PQ26 参数（Ae=113 mm²、Np≈24、lg=0.46 mm）绑给 RM8——库内 RM8 档自洽口径是 Ae=60 mm²、Np=45、lg=0.85 mm（见 NCP1342/03 步骤 9）。磁路手算目标 L=µ0N²Ae/(lg+le/µr)≈173 µH（教学取值 le=60 mm、µr=2000；AL 反推核验：lg,eff=µ0N²Ae/L−le/µr=0.848−0.030=0.818 mm≈0.85 mm ✓）。几何侧已由 FreeCAD 无头完整实证：轴对称半平面 28 区共形分区（面积台账 260.6+3.7+183.1+6752.6=7200 mm² 闭合）、OCC 自融合焊接共享边、STEP 读回逐面比对 28/28、Gmsh 导入后按单元重心分类的分组面积与台账精确一致（脚本与模型归档 ../90_资料源/getdp_能量法/rm8_*）；轴对称场求解未通过，按用户决定搁置，场值不造数。

6. 操作速查

# 全流程
gmsh -2 loop.geo -o loop.msh && getdp loop -solve Magnetostatics_a -pos B
# 换电流：改 loop.pro 两行 js 的 Vector 第三分量，重跑（线性自检）
# 能量积分脚本：解析 b.pos 的 VT(...) 行（§3 公式；归档目录含可直接复制的解析逻辑）

量	本例值	口径
网格尺寸	导体 0.15mm / 空气 6mm	导体角部加密优先
边界距离	60mm −0.99% / 600mm −0.28%（GMD 口径）	练习①实测完成
求解耗时	<1 s（6452 单元）	网格 ×4 仍秒级

要点：磁静场 FEA 的入门门槛就是一个“两个文本文件+两条命令”的双线回路——完成它，你就有了校验一切电感手算公式的器件级标尺；剩下的只是把几何画成磁芯。

2026-10-07 复跑：本篇全部记录值已在本机复现（ngspice 44.2 / LTspice 26.0.2），明细见 10_仿真复跑记录。