自检题参考答案
对应高中数学衔接五讲的全部 25 道自检题。建议先自己算，再看答案；算不出来不要硬看，回看正文对应小节。
第 01 讲 · 函数、指数对数与三角函数
| # | 答案 |
|---|---|
| 1 | 可以。例：$V_o = f(V_{in}, D, f_{sw}, L, C)$。研究单个因素时固定其余变量、只让一个变化（数学上就是偏微分，见第 02 讲末节）。 |
| 2 | 损耗 $=1-\eta$。88% → 0.12；96% → 0.04；比值 $0.12/0.04 = \mathbf{3}$。96% 的损耗是 88% 的三分之一。 |
| 3 | $t=\tau$ 时完成 $1-e^{-1}=63.2\%$，即 3.16 V。$t=3\tau$ 时剩 $e^{-3}=5.0\%$，即 4.75 V。 |
| 4 | $\omega = 2\pi f = 2\pi\times100 = \mathbf{628\ rad/s}$。 |
| 5 | 方波关于 $t=T/2$ 反对称（$f(t+T/2)=-f(t)$）。这种半波反对称性使傅里叶级数中只有奇次谐波，偶次系数恒为零。 |
| 6 | 因为开环增益是各级增益的乘积，取对数后乘变加；且对数轴上每十倍频程等距，便于读全频段。 |
第 02 讲 · 导数与微分
| # | 答案 |
|---|---|
| 1 | $v=V_m\sin(2\pi f t)$，求导得 $\dfrac{dv}{dt}=2\pi f V_m\cos(2\pi f t)$。峰值斜率 $\propto f$，频率越高电压变化率越大。 |
| 2 | 若 $v$ 在 $\Delta t$ 内跳变 $V$，则 $i=C\dfrac{V}{\Delta t}$，$\Delta t\to0$ 时 $i\to\infty$。无穷大电流不存在（实际回路有寄生电阻与电感，电流有物理上限），故假设不成立，$v$ 必须连续。 |
| 3 | 电感电流不能突变（否则 $v=L\dfrac{di}{dt}\to\infty$）。开关关断瞬间电流必须连续流动，所以必须有续流路径（续流二极管或钳位网络），否则产生击穿开关管的尖峰电压。 |
| 4 | $y' = 6x\,e^{-2x} + (3x^2+1)(-2)e^{-2x} = \mathbf{e^{-2x}(6x-6x^2-2)}$ |
| 5 | $\dfrac{\partial P}{\partial U}=\dfrac{2U}{R}$，故 $\dfrac{\Delta P}{P}=2\dfrac{\Delta U}{U}=2\times10\%=\mathbf{20\%}$。 |
| 6 | 导数 $\dfrac{dy}{dx}$ 是精确的变化率；微分 $dy=f'(x)dx$ 是一阶近似值（忽略高阶项）。文献里“变化率”一般指导数（精确），估算式里用微分（近似）。 |
第 03 讲 · 积分与微积分基本定理
| # | 答案 |
|---|---|
| 1 | $i=C\dfrac{dv}{dt}\Rightarrow \int i\,dt=C\Delta v$。稳态周期内 $v$ 回到原值（$\Delta v=0$），故 $\int i\,dt=0$。 |
| 2 | 不成立。未进入稳态时状态量没有回到初值，积分不为零。这正是“平衡定律只在稳态适用”的含义，也是启动过程必须单独分析的原因。 |
| 3 | $\Delta Q=3\text{A}\times50\mu\text{s}=150\ \mu\text{C}$；$\Delta V=\dfrac{150\mu\text{C}}{220\mu\text{F}}=\mathbf{0.68\ V}$ > 0.5 V，不满足。改法：电容加大到 $\ge 300\ \mu\text{F}$；或缩短扰动时间；或提高环路带宽让源侧更快支援。 |
| 4 | $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{I-I_o}{C}=\dfrac{2-1}{470\times10^{-6}}=2128\ \text{V/s}=\mathbf{2.13\ V/ms}$ |
| 5 | 匝数公式来自伏秒平衡：$\int v_L\,dt = N A_e\Delta B$。每匝承受的伏秒等于磁芯截面上的磁通变化量，移项即得 $N=\dfrac{Vt}{A_e\Delta B}$。 |
| 6 | $\Delta v=\dfrac{1}{C}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}i_C\,dt$。上下限取扰动发生的起止时刻（如负载阶跃瞬间到输出电压重新稳定）。 |
易错提醒：不写上下限是工程文档里的常见坏习惯，会让读者无法判断积分区间。
第 04 讲 · 级数与泰勒展开
| # | 答案 |
|---|---|
| 1 | 严格说它不是泰勒推导的结果——$v_L = L\dfrac{di}{dt}$ 是电感的元件定义式（源于法拉第定律）。泰勒在这里的作用是：当 $i_L(t)$ 非线性变化时，仍可用该式逐点求 $v_L$。 |
| 2 | 合法条件：① 扰动足够小；② 系统稳定、工作点附近；③ 不在 CCM/DCM 等模式切换点。不满足时（如大信号、DCM）线性模型失效。 |
| 3 | $r_d=\dfrac{nV_T}{I_0}$，室温 $V_T\approx26$ mV。$I_0=1$ A → 26 mΩ；$I_0=10$ A → 2.6 mΩ。工程含义：动态电阻随电流反比下降，所以大电流场合肖特基压降不可忽略，必须上同步整流。 |
| 4 | $(1.05)^3 = \mathbf{1.1576}$；一阶近似 $1+3\times0.05=\mathbf{1.15}$，误差 $0.66\%$。 |
| 5 | 轻载效率低主要来自固定损耗（启动电阻、辅助绕组、驱动损耗、控制器静态电流），它与负载无关，与线性化无关。排查顺序：① 算固定损耗占总损耗比；② 查磁件在轻载时 $B$ 与 $f$ 是否真的下降；③ 最后才怀疑小信号模型。 |
第 05 讲 · 复数与欧拉公式
| # | 答案 |
|---|---|
| 1 | $e^{j\pi}=\cos\pi+j\sin\pi=-1+0j=\mathbf{-1}$。物理意义：单位幅度矢量转半圈回到反方向——复平面上的“负”就是转 180°。 |
| 2 | $\dfrac{d}{dt}e^{-j\omega t}=-j\omega\,e^{-j\omega t}$，因为指数函数的导数仍是指数函数、只差一个常数系数。好处：求导退化为一次乘法，不必展开求导法则的四项。 |
| 3 | $Z=100+j50=\mathbf{111.8\angle26.6^\circ\ \Omega}$。由 $X_L=\omega L=50$ 得 $L=\dfrac{50}{2\pi\times50}=\mathbf{0.159\ H}$（159 mH）。 |
| 4 | 不对。相量法丢弃了时间因子 $e^{j\omega t}$，只保留稳态正弦的信息，时间信息随之丢失。开关瞬间是暂态、含多种频率分量，必须用时域仿真或拉普拉斯分析。 |
| 5 | FHA 假设 $f_{sw}\gg f_r$、只取基波。它忽略了：谐振电流的瞬时细节、ZVS 边界（轻载区恰好是 FHA 失效区，也是 ZVS 丢失区）、器件电压电流应力。结论：FHA 定工作点与增益趋势，ZVS 边界必须用时域仿真或实测确认。 |
| 6 | 开放题。参考链条：复数 $j$ 提供“旋转” → 欧拉公式把旋转写成指数 → 指数可微（乘 $-j\omega$） → 故稳态可用复数代替时间函数（相量） → 相量可求串联并联（阻抗） → 逐频率计算即得波特图。 |
评分建议
| 情况 | 建议 |
|---|---|
| 5 题全对 | 直接进入第 06 讲 |
| 错 1~2 题 | 翻对应小节重读，重点看被错的那节末尾“速查表” |
| 错 3 题以上 | 建议从第 01 讲重新按顺序读 |
上一级：01_数学