数值说明：本文的代入数值为本库教学复算，用于说明计算过程与量级，不作为设计依据；引用的库内实例均标注出处（型号/文件号），通用公式标「教科书通识」。
第 02 讲 · 导数与微分
本讲要解决什么问题
电源分析里有两句绕不开的话：
- 电容电压不能突变（否则电流无穷大）
- 电感电流不能突变（否则电压无穷大）
这两句话的依据就是导数。本讲要把导数讲透，讲到你能自己推出这两条结论，而不是背。
同时，本讲会给出后面所有工具的基础：链式法则、偏导、微分。
1 从平均变化率到瞬时变化率
1.1 平均变化率
汽车 2 小时内走了 120 km，平均速度 60 km/h。这是“平均”的：中间某时刻可能 80、某时刻 40，平均值把它们抹平了。
$$\text{平均变化率} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$
1.2 瞬时变化率：导数的定义
把 $\Delta x$ 越取越小，$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 会趋向一个极限——这就是导数：
$$y' = \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
几何意义：曲线在该点的切线斜率。
物理意义：变化率。$u = f(t)$ 时，$du/dt$ 就是“每秒变化多少伏”。
1.3 用极限理解“越来越小的时间窗”
| 观察窗口 | 测到的变化率 | 反映什么 |
|---|---|---|
| 1 秒 | 60 km/h | 整段平均 |
| 0.1 秒 | 可能 80 km/h | 局部 |
| 0.001 秒 | 可能 40 km/h | 更局部 |
| 趋于 0 | 瞬时变化率 = 导数 | 某一瞬间的真实状态 |
工程含义：示波器上看到的波形陡峭程度，就是导数。$\frac{dv}{dt}$ 越大，EMI 越差——这就是驱动器要压 $dv/dt$ 的数学依据。
2 常见函数的导数
| 函数 | 导数 | 备注 |
|---|---|---|
| 常数 $C$ | $0$ | 斜率为零 |
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ | 幂函数 |
| $1/x$ | $-1/x^2$ | |
| $e^x$ | $e^x$ | 唯一等于自身的函数 |
| $\ln x$ | $1/x$ | 与 $e^x$ 互逆 |
| $\sin x$ | $\cos x$ | 弧度制 |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
$e^x$ 与 $\ln x$ 互为逆函数：$\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$、$\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$，这两条在第 03 讲会用到。
3 运算法则（工程里真正用得上的）
3.1 和差法则
$$(f \pm g)' = f' \pm g'$$
3.2 乘除法则
$$(fg)' = f'g + fg',\qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$
3.3 链式法则（最重要）
若 $y = f(u)$、$u = g(x)$，则：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$
记忆方式：把链条上的变化率相乘。外层的变化率乘内层的变化率。
工程含义：任何“层层嵌套”的关系，影响可以逐层传递。这正是第 01 讲说的“工程问题都是复合函数”的解法。
两个实例：
$$\frac{d}{dt}\left[V_{in}\sin(\omega t)\right] = \omega V_{in}\cos(\omega t)$$
$$\frac{d}{dt}\left[\sin(2\pi f_{sw} t)\right] = 2\pi f_{sw}\cos(2\pi f_{sw}t)$$
第二个式子说明：开关频率越高，电压上升率越大。应力 $\frac{dv}{dt}$ 出现在开关管选型、EMI、变压器绝缘的每一处计算里。
4 微分：导数的“线性近似”
4.1 定义
导数是变化率，微分是在这个点附近的一阶近似：
$$dy \approx f'(x)\,dx$$
意思是：在 $x$ 附近，$f$ 的变化量约等于“斜率 × 步长”。
这个近似在 $dx$ 足够小时很准，在 $dx$ 大时会失效——第 04 讲的泰勒展开就是把这个近似写成精确的级数。
4.2 一个必须分清的区别
| 概念 | 符号 | 是精确值还是近似 |
|---|---|---|
| 导数 | $\dfrac{dy}{dx}$ | 精确值（是导数本身） |
| 微分 | $dy = f'(x)dx$ | 近似值（忽略高阶项） |
工程文献里 “$\frac{dv}{dt}$” 通常写作导数（精确），而“电压变化率”有时指导数、有时指近似——读文献时注意区分。
5 多元函数：偏导数与全微分
5.1 偏导数：固定其它，只动一个
对 $y = f(x_1, x_2)$，只让 $x_1$ 变、$x_2$ 固定，求出的变化率叫偏导：
$$\frac{\partial f}{\partial x_1} = \lim_{\Delta x_1 \to 0}\frac{f(x_1+\Delta x_1, x_2) - f(x_1, x_2)}{\Delta x_1}$$
工程含义：这就是第 01 讲说的“固定其余、动一个”。
实例：输出纹波 $\Delta V_{out}$ 依赖 $\Delta I_L$、$f_{sw}$、$C$、$ESR$ 四个量。要研究“提高开关频率对纹波的影响”，就是求 $\dfrac{\partial \Delta V_{out}}{\partial f_{sw}}$，其余三个量全部固定。
5.2 全微分与灵敏度
$$dy \approx \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots$$
这就是容差分析的基础：把每个元件的偏差 $\mathrm{d}x_i$ 代入，乘以对应的偏导，就得到输出偏差的估计。
| 步骤 | 作用 |
|---|---|
| 求偏导 $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$ | 得到灵敏度系数 $S_i = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\cdot\dfrac{x_i}{y}$ |
| 代入容差 | 得到各项的偏差贡献 |
| 按算术和或 RSS 叠加 | 得到总偏差 |
本讲只要求会求偏导，叠加方法见容差专题。
6 物理约束的推导（本讲核心）
6.1 电容电压不能突变
电容的电流电压关系：
$$i_C = C\frac{dv_C}{dt}$$
假设电压可以突变：设 $v_C$ 在 $\Delta t$ 内从 0 跳到 $V$，则
$$i = C\frac{V}{\Delta t}$$
$\Delta t \to 0$ 时 $i \to \infty$。无穷大电流不存在（实际回路有寄生电阻与电感）。
结论：电容电压连续，只能“斜着上去”，不能“竖着跳”。斜率由外部回路决定，不是由电容决定。
这条结论的工程后果：
- 负载突变时，输出电压不会瞬间变，而是以一定斜率变化；
- 这个斜率受输出电感限制；
- 电容不能吸收“阶跃”电压，只能吸收缓慢变化。
6.2 电感电流不能突变
同理：
$$v_L = L\frac{di_L}{dt}$$
电流突变则电压无穷大。所以电感电流连续。
工程后果：
- 开关关断瞬间，电感电流必须连续流动——这就是续流路径（续流二极管）存在的原因；
- 没有续流路径时，电感电流无处可去，会产生极高的电压尖峰击穿开关管。
这两条约束是所有拓扑能工作的物理基础。后面讲反激、LLC 时，每个拓扑的动作顺序都是这两条约束推出来的。
6.3 两条约束的直观图像
| 元件 | 状态量 | 突变时的反作用 | 直观比喻 |
|---|---|---|---|
| 电容 | 电压 | 需要无穷大电流 | 水位不能瞬间升，否则要无限流量 |
| 电感 | 电流 | 需要无穷大电压 | 惯性大，不能瞬间改速 |
7 电源里其它用到导数的地方
| 位置 | 导数形式 | 工程含义 |
|---|---|---|
| 开关损耗 | $\frac{dv}{dt}$、$\frac{di}{dt}$ | 电压电流重叠造成损耗 |
| 栅驱动 | $C_{gd}\frac{dv_{gd}}{dt} = I_g$ | 密勒电容决定开关速度 |
| 软启动 | $\frac{dv}{dt} = \dfrac{I - I_o}{C}$ | 斜率由充放电流差决定 |
| 输出纹波 | $\frac{dv}{dt} = \dfrac{\Delta i_C}{C}$ | 纹波是电流积分的结果 |
8 本讲速查
| 记不住就查这张表 | 内容 |
|---|---|
| 导数 | 瞬时变化率；几何上是切线斜率 |
| 链式法则 | $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ |
| 微分 | 一阶线性近似（近似值，不是精确值） |
| 偏导 | 固定其余变量求导，用于敏感性分析 |
| 电容 | $i = C\dfrac{dv}{dt}$ → 电压不能突变 |
| 电感 | $v = L\dfrac{di}{dt}$ → 电流不能突变 |
| $e^x$ | 导数等于自身；$\ln x$ 导数为 $1/x$ |
| $\sin(2\pi f t)$ | 导数为 $2\pi f\cos(2\pi f t)$，频率越高变化率越大 |
9 自检问题
- 用导数定义说明：为什么开关频率越高，开关节点的电压变化率越大？
- 从 $i = C\dfrac{dv}{dt}$ 出发，推导“电容电压不能突变”，说明是哪一步假设不合理。
- 为什么反激变换器必须有续流二极管？用本讲的哪条结论解释？
- 写出 $y = (3x^2+1)e^{-2x}$ 的导数（用链式法则）。
- 若 $P = U^2/R$，在 $U$ 增大 10% 时，$P$ 增大了百分之几？用偏导算。
- 微分 $dy$ 与导数 $dy/dx$ 有什么区别？为什么工程文献里两个都在用？
与库内文档联动
- 上一讲：第 01 讲 · 函数、指数对数与三角函数
- 下一讲：第 03 讲 · 积分与微积分基本定理
- 深入：微积分通识
上一级：01_数学
自检题答案见：自检题参考答案