电力电子变换器理论 —— 伏秒平衡、电荷平衡、PWM 调制、软开关与损耗总核算

给“会照着拓扑算、但不会推”的工程师。读 01_开关电源基础概念 时你背下了 $V_{out}=D\cdot V_{in}$、$D=V_{OR}/(V_{in}+V_{OR})$、$P_{bnd}=V_{in}^2V_{OR}^2/(2L_mf_{sw}(V_{in}+V_{OR})^2)$——本篇把这些公式全部重新推导一遍：稳态分析归根结底只有两条积分定律（伏秒平衡、电荷平衡）加一条模式判据（CCM/DCM 边界）；再往下挖一层是磁学三定律（法拉第、磁通连续、安匝——伏秒平衡的物理来源）；往控制方向是 PWM 调制（占空比从哪来、频率什么时候当控制量）；往器件方向是软开关分类树与损耗五项核算——每项都配库内真实数字。读完后你从“套公式”升级到“会推、会挑架构、会核算”。

读法建议：延续本库两条数字主线——24 W 反激主线（12 V/2 A、65 kHz、Lm=600 µH、Vin=300 V、V_OR=125 V、匝比 n=10，见 开关电源基础概念 §2.5）与 65 W QR 主线（Lp=180 µH、Ipk=3.44 A、n=5、V_OR=103 V，见 NCP1342 03 篇）；全库横向核算见 04_65W适配器五拓扑同规格对比。本篇所有公式都用这两条主线复算到底。

数据规范（本类总纲）：教科书公式标「教科书通识」；所有代入例为本库教学复算并明示；工程近似逐处标注；推断标「待核实」；严禁编造。

0 本篇速览：两把钥匙、一根尺子、一张总览

电源工程师天天在用一堆“稳态公式”，却很少有人指出它们全是同一套思想的展开：

简述版：稳态 = 电感电压一周期积分为 0（伏秒平衡）+ 电容电流一周期积分为 0（电荷平衡）+ 电流是否归零（模式边界）；磁学三定律是它的物理底座，PWM 调制是它的执行机构，软开关与损耗总核算是它的经济性核算。把这几个方程按当前模式写出来，任何拓扑的稳态关系都能自行推出，不必背。

1. 开关变换的本质：三件事

1.1 三件事（类比先行）

任何开关变换器，无论多复杂，拆到底都是三件事的组合：

1. 周期性开断（开关网络）：开关管按频率 fsw 在“导通/关断”间切换，把直流“剪”成方波。这是“变换”的动作源——剪时间片。
2. 电感储能传递（磁性元件）：电感（或耦合电感）导通期存能、关断期放能。它既是“能量中转站”，又是电流的“飞轮”——电流不能突变，所以它把方波电压变成斜坡电流。
3. 电容稳压（电容）：输出电容把断续的能量流“抹平”成平滑直流——吸收纹波、稳定电压，承担平滑衔接作用。

任何变换器 = 开关网络 + 磁性元件 + 电容的组合。开关网络负责“变”，电感负责“存与放”，电容负责“稳”。区分拓扑的只有两件事：开关网络怎么接（决定导通期电感两端电压）、磁性元件是单绕组还是耦合绕组（决定隔离与否）。库内所有拓扑（反激、正激、LLC、AHB、PFC）都逃不出这配套组合。

1.2 用 Buck 入门：最容易的稳态

为什么用 Buck 入门：它的稳态关系最简单（$V_{out}=D\cdot V_{in}$），而且能量在导通期和关断期都在向输出传递——不需要“先存后取”（这正是它与反激的最大差别，§5 展开）。

Buck 两个阶段（理想元件、CCM）：

• 导通期（0 ~ DT）：开关导通、续流二极管截止。电感左端接 Vin、右端接 Vo，$v_L = V_{in} - V_o > 0$，电流线性上升（微积分通识 §1.3 的 v=L·di/dt）。
• 关断期（DT ~ T）：开关关断、二极管续流。电感左端 ≈0（忽略二极管压降），$v_L = -V_o < 0$，电流线性下降。

稳态下电感电流每个周期“上去又下来”、不多不少（这正是伏秒平衡，§2 证明），所以导通期多积累的电流恰好被关断期还清： $$ V_{out} = D\cdot V_{in} \qquad(\text{Buck，CCM，教科书通识}) $$

数值例：12 V → 5 V，$D = 5/12 = 0.417$。导通 41.7% 的时间，电感左端电压平均值 = $0.417\times12 = 5.0$ V = Vout ✓。

1.3 三件事各自管什么（工程含义）

• 开关网络管“变”：占空比 D 是唯一可控的旋钮——开关电源基础概念 §4 的四种控制律（电压/电流/迟滞/变频）都在决定 D 怎么调（§7 展开）。
• 磁性元件管“存”：电感量 L 决定电流斜率、峰值、纹波与工作模式（CCM/DCM，§4）——L 是设计的第一个自由度（§6 给出它的磁学出身）。
• 电容管“稳”：输出电容决定纹波电压与动态响应——电容大小由电荷平衡定（§3）。

为什么工程上要懂：看到任何一台电源，第一反应就是“把开关网络、磁性件、电容分开认出来，然后写导通/关断两个阶段的电压电流”——这就是稳态分析的全部动作。

2. 伏秒平衡：电感电压一周期积分为 0

2.1 类比：电梯的楼层卡

电梯每天上上下下，但晚上必须回到同一层，否则位置每天漂一点，迟早撞顶。电感电流就是电梯：稳态下“一个周期结束回到原值”，所以它承受的电压“上升多少必须等于下降多少”——这就是伏秒平衡。

2.2 从 v = L·di/dt 出发推导（教科书通识）

教科书通识：从电感基本方程 $v_L = L\frac{di}{dt}$ 出发，两边对一个开关周期积分： $$ > \int_0^T v_L\,dt = L\int_0^T \frac{di}{dt}\,dt = L\big[i(T)-i(0)\big] > $$ 稳态下电感电流是周期的：$i(T) = i(0)$，所以 $$ > \int_0^T v_L\,dt = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{伏秒平衡} > $$

直觉：“积分=0”不是说电感电压为零，而是正负面积恰好抵消——电感电压在周期内的“时间加权和”为零。等价地写成面积形式（电压×时间叫“伏秒”）：导通期电压的伏秒 = 关断期（反号）电压的伏秒。

2.3 用伏秒平衡推出三大基本拓扑（教科书通识）

Buck：导通期 $v_L = V_{in}-V_o$（持续 DT），关断期 $v_L = -V_o$（持续 (1−D)T）： $$ (V_{in}-V_o)DT = V_o(1-D)T \quad\Rightarrow\quad V_o = D\cdot V_{in} $$

Boost：导通期 $v_L = V_{in}$，关断期 $v_L = V_{in}-V_o < 0$： $$ V_{in}DT = (V_o-V_{in})(1-D)T \quad\Rightarrow\quad V_o = \frac{V_{in}}{1-D} $$

Buck-Boost（反相）：导通期 $v_L = V_{in}$，关断期 $v_L = -V_o$： $$ V_{in}DT = V_o(1-D)T \quad\Rightarrow\quad \frac{V_o}{V_{in}} = \frac{D}{1-D}\ (\text{极性反相}) $$

数值例（三个一起验）：12 V 输入——Buck→5 V 需 D=0.417；Boost→20 V 需 D=1−12/20=0.4；Buck-Boost→−5 V 需 D=5/(5+12)=0.294。代入各自公式都能还原 ✓（本库教学复算）。

2.4 反激：伏秒平衡给出占空比公式（65 W QR 主线验证）

反激导通期磁化电感上的电压是 Vin，关断期则是反射电压 $V_{OR}=n(V_o+V_f)$（副边输出按匝比镜像回初级，口径见 开关电源基础概念 §2.6）。伏秒平衡： $$ V_{in}\cdot t_{on} = V_{OR}\cdot t_{dem} \quad\Rightarrow\quad \frac{t_{dem}}{t_{on}} = \frac{V_{in}}{V_{OR}} $$ 把 t_on 占“导通+退磁”工作区间的比例写出来： $$ D = \frac{t_{on}}{t_{on}+t_{dem}} = \frac{V_{OR}}{V_{in}+V_{OR}} = \frac{n(V_o+V_f)}{V_{in}+n(V_o+V_f)} $$ 忽略二极管压降（Vf=0）就是那个教科书形式： $$ \boxed{D = \frac{nV_o}{V_{in}+nV_o}} \qquad(\text{反激，教科书通识，理想二极管}) $$

65 W QR 主线验证（本库教学复算，n=5、Vo=20 V、Vf=0.6 V、低线 Vin=90 V，见 NCP1342 03 篇）：

• 理想形式：$D = 5\times20/(90+100) = 100/190 = 0.526$
• 计入 Vf：$V_{OR} = 5\times20.6 = 103\ \text{V}$，$D = 103/(90+103) = 0.534$
• 库内实际波形：$t_{on}=6.9\ \mu\text{s}$、$t_{dem}=6.0\ \mu\text{s}$ → $D = 6.9/12.9 = 0.535$ ✓

三者几乎一致，说明两点：① 约 1% 的差别正是二极管压降的贡献——设计计算用 $V_{OR}=n(V_o+V_f)$ 才是准的；② 伏秒平衡不是“理论近似”，它精确到就是 t_on 与 t_dem 的实测比值。

2.5 为什么这是“总钥匙”

伏秒平衡一条定律，同时约束三件事：

1. 输出电压/占空比关系——§2.3/§2.4 的五个公式全是它一个推导出来的，不用背；
2. 工作区间时长比——$t_{dem}/t_{on} = V_{in}/V_{OR}$ 直接给出退磁时间，进而决定 CCM/DCM 边界（§4）与谷底时机（QR 的谷底振铃就发生在退磁结束之后，见 微积分通识 §4.3）；
3. 正确性检验——伏秒不平衡的唯一后果是电感电流每周期净增一点、磁芯向饱和发展（现场现象：变压器啸叫 + 开关管越来越热），排查时先验伏秒（§6.2 的磁通语言：磁通逐周期爬向饱和）。

工程含义要点：凡是“稳态下电压关系”的问题，答案都在伏秒平衡里——背五个公式不如会积两个面积。

3. 电荷平衡：电容电流一周期积分为 0

3.1 类比：浴缸的水位

浴缸水位要稳定，放进去的水和流走的水必须恰好相等——否则水位每周期涨一点，迟早漫出来。电容电压就是水位：稳态下它一个周期回到原值，所以电容电流的积分（净电荷）必须为 0。

3.2 从 i = C·dv/dt 出发推导（教科书通识）

教科书通识：与 §2 完全对偶。电容基本方程 $i_C = C\frac{dv}{dt}$，两边对一个周期积分： $$ > \int_0^T i_C\,dt = C\big[v(T)-v(0)\big] = 0 \qquad(\text{稳态下 }v(T)=v(0)) > $$ 稳态下电容净电荷变化为 0——流入电容的平均电流为 0。等价说法：输出电容不送平均电流，只挡纹波。

3.3 从电荷平衡推输出平均电流关系（24 W 主线验证）

把电荷平衡用 KCL 写在输出节点（电路原理通识 §1.2 已有铺垫）： $$ i_S(t) = i_C(t) + I_o \quad\Rightarrow\quad \overline{i_S} = \overline{i_C} + I_o = 0 + I_o $$ 即副边整流管电流的平均值 = 负载电流。而平均值 = 每周期电荷 ÷ 周期。反激副边电流是三角形（峰值 $I_{S,pk}$、持续 $t_{dem}$）： $$ Q_{cycle} = \int i_S\,dt = \tfrac{1}{2}I_{S,pk}\,t_{dem}, \qquad I_o = \frac{Q_{cycle}}{T} $$

24 W 主线验证（I_S,pk = 11.1 A、t_dem = 5.33 µs、T = 15.4 µs，开关电源基础概念 §2.5）： $$ Q = \tfrac{1}{2}\times11.1\times5.33\ \mu\text{s} = 29.6\ \mu\text{C}, \qquad I_o = \frac{29.6\ \mu\text{C}}{15.4\ \mu\text{s}} \approx 1.92\ \text{A} \approx 2\ \text{A}\ ✓ $$ （差 0.08 A 正是副边二极管 0.5 V 压降消耗的那约 1 W，核算闭合。）

工程含义：输出平均电流不是“凭经验估算”，是“三角形面积除以周期”——反激副边波形长什么样（峰值、脉宽）直接决定输出电流能力，也是下面 RMS 损耗计算的起点。

3.4 三角波 RMS 的由来：电荷平衡的“平方版”（呼应 09 功率器件）

RMS 是 $i^2$ 曲线面积的平方根——同样是面积积分，只是积的是 $i^2$ 而不是 $i$（微积分通识 §2.5）。反激副边三角波（峰值 $I_{S,pk}$、占空比 $D_m = t_{dem}/T$）： $$ I_{S,rms}^2 = \frac{1}{T}\int_0^{t_{dem}} i_S^2\,dt = \frac{I_{S,pk}^2\cdot D_m}{3} $$ 推导（教科书通识）：三角形 $i_S(t) = I_{S,pk}(1-t/t_{dem})$，而 $\int_0^{t_{dem}}(1-t/t_{dem})^2 dt = t_{dem}/3$——“除以 3”就是三角形平方曲线的面积系数。

24 W 主线验证（I_S,pk = 11.1 A、D_m = 5.33/15.4 = 0.346）： $$ I_{S,rms}^2 = 11.1^2\times0.346/3 = 123.2\times0.1153 \approx 14.2\ \text{A}^2,\qquad I_{S,rms} \approx 3.77\ \text{A} $$ 这个 14.2 A² 正是 开关电源基础概念 §6.1 算同步整流损耗用的数：$P = I_{rms}^2\cdot R_{ds(on)} = 14.2\times10\ \text{m}\Omega \approx 0.14\ \text{W}$。它的方法论源头在 03_功耗计算全译——导通损耗 = RDS(on)·I²RMS。

CCM 时副边是梯形（从 $n\cdot I_{pk}$ 降到 $n\cdot I_{val}$，§5.2），RMS 公式扩展为（教科书通识）： $$ I_{S,rms}^2 = \frac{D_m}{3}\big(I_{S,pk}^2 + I_{S,pk}\,I_{S,val} + I_{S,val}^2\big) $$ 峰值相同时梯形比三角的 RMS 小——这正是 CCM 波形“矮胖”、RMS 损耗低的数学出处（§5.2 有数值对比）。

3.5 电荷平衡还决定输出纹波

输出电容的电压纹波 = 电容每周期净积累的超额电荷 ÷ 电容。Buck 输出纹波（教科书通识，忽略 ESR）： $$ \Delta V_o = \frac{\Delta Q}{C} = \frac{\Delta i_L}{8\,C\,f_{sw}} $$ （三角形纹波相对平均线的超额面积是 $\Delta i_L\cdot T/8$，本库教学复算。）

数值例：Buck 12→5 V，L=100 µH、fsw=100 kHz、C=100 µF： $$ \Delta i_L = \frac{V_o(1-D)}{L f_{sw}} = \frac{5\times0.583}{100\ \mu\times100\ \text{k}} = 0.292\ \text{A}, \qquad \Delta V_o = \frac{0.292}{8\times100\ \mu\times100\ \text{k}} \approx 3.6\ \text{mV} $$ 工程含义：纹波由“电荷 ÷ C”直接定——要减纹波就加大 C（或降低 ESR，ESR 主导时另算）。电容的容量、纹波、动态响应全是电荷平衡这一条定律的分支。

4. CCM/DCM/BCM 边界：电感电流是否到零（统一推导）

4.1 模式是设计结果，不是芯片属性

同一颗反激 IC、同一频率，重载可以 CCM、轻载可以 DCM——模式由电路参数决定（开关电源基础概念 §3 已有速览）。本节把 Buck 的边界电感与反激的边界功率统一到同要点：“平均值 = 纹波的一半”。

4.2 判据简述

电感（磁化）电流在开关周期末是否降到零：

• 降不到零，下一拍从非零值接续 → CCM（连续）
• 恰好归零、立即开始下一拍 → BCM/CRM（临界；反激语境就是 QR 的工作点）
• 归零后休止一段 → DCM（断续）

4.3 边界的统一推导：从“恰好归零”反解（教科书通识）

统一出发点：BCM 的定义是“纹波峰谷恰好对称分布于平均值上下、谷值=0”，即

$$ \text{平均电流} = \frac{\Delta i_L}{2} $$

Buck（平均电流 = 输出 $I_o$）：纹波 $\Delta i_L = \dfrac{V_o(1-D)}{L f_{sw}}$，代入 $I_o = \Delta i_L/2$ 反解出边界电感： $$ \boxed{L_{bnd} = \frac{V_o(1-D)}{2\,I_o\,f_{sw}}} \qquad(\text{Buck，教科书通识}) $$ $L > L_{bnd}$ → CCM；$L < L_{bnd}$ → DCM。

数值例：Buck 12→5 V、Io=2 A、fsw=100 kHz：$L_{bnd} = 5\times0.583/(2\times2\times100\ \text{k}) = 7.3\ \mu\text{H}$——10 µH 就 CCM、4.7 µH 就 DCM，换一颗电感模式就变。

Boost（平均电流用输入侧 $I_{in}=I_o/(1-D)$ 对 $\Delta i/2$，教科书通识，推导同法）： $$ L_{bnd} = \frac{V_{in}\,D\,(1-D)}{2\,I_o\,f_{sw}} $$

反激（电感是磁化电感 Lm，“平均”用功率形式最顺手，开关电源基础概念 §3.2 已给）： $$ P_{bnd} = \frac{V_{in}^2 V_{OR}^2}{2\,L_m f_{sw}(V_{in}+V_{OR})^2}, \qquad L_{bnd} = \frac{V_{in}^2 V_{OR}^2}{2\,P_o f_{sw}(V_{in}+V_{OR})^2} $$ 推导（教科书通识）：边界 = 恰好 $t_{on}+t_{dem}=T$。由伏秒平衡 $V_{in}t_{on}=V_{OR}t_{dem}$ 解出 $t_{on}=T\cdot V_{OR}/(V_{in}+V_{OR})$，代入 $I_{pk}=V_{in}t_{on}/L_m$ 与 $P=\tfrac12 L_m I_{pk}^2 f_{sw}$ 即得。判据：P_out > P_bnd → CCM；P_out < P_bnd → DCM。

三个公式长得不一样，骨子里是同一句“$I_{avg} = \Delta i/2$”——Buck 平均的是输出电流、Boost 平均的是输入电流、反激把电流平方乘 ½L 变成功率再平均。记住出发点，三个公式都能现场重推。

4.4 反激边界：24 W 主线算边界电感

24 W 主线复算（V_OR=125 V、fsw=65 kHz、Po=24 W，对照 开关电源基础概念 §3.3）：

工程含义：① 边界电感随输入电压滑动——低线的 L_bnd 只有高线的一半，所以“2.5 mH 高线临界、低线 CCM”是同一颗电感下自然发生的，模式不是“选”出来的固定属性；② 大量 65 kHz 反激把 Lm 刻意选在边界带附近，用模式换峰值电流（§5.2 定量）：加大 Lm 把 Ipk 从 1.11 A 降到 0.58 A，代价是磁芯更大、低线进入 CCM（次级整流管反向恢复随之出现，开关电源基础概念 §3.4；MOSFET架构演进 §4.5 的 Qrr 核算见 §9）。

4.5 为什么 DCM 的增益不再线性

CCM 时：伏秒平衡只含 D 和电压、不含负载——所以 $V_o = D\cdot V_{in}$ 这类关系与负载无关，负载变了只是平均电流跟着变（“飞轮”效应）。

DCM 时：电流每周期从零起坡，每周期送的能量 $=\tfrac12 L I_{pk}^2 \propto D^2 V_{in}^2$，必须恰好等于负载要的能量 $V_o^2/R_L$。把两个功率相等解出来（教科书通识）： $$ \frac{V_o}{V_{in}} = D\sqrt{\frac{R_L}{2 L f_{sw}}} \qquad(\text{反激/Buck-Boost，DCM}) $$ 关键点有两个：

1. 增益里出现了负载电阻 $R_L$——同占空比下轻载输出更高（DCM 的“轻载电压偏高”，反馈必须更强地把 D 调回）；
2. 增益对 D 不是线性——DCM 反激的增益由 $D^2$ 的能量平衡而来，同一占空比步进，CCM 与 DCM 引起的输出变化幅度不同。这就是控制到输出的增益随模式改变，也是 §10 状态空间平均要为 DCM 单建模型的直接原因。

另注意：DCM 反激增益公式里匝比 n 消掉了（能量平衡不经过匝比），所以 DCM 下靠调匝比改增益无效——“CCM 用匝比调增益、DCM 用负载/频率调增益”是这条公式的工程注脚。（Buck/Boost 的 DCM 增益同理把 $K=2Lf_{sw}/R_L$ 引入公式，形态从“线性 D”变成“带根号、含负载”，反激的这条是同族中形式最简洁的。）

5. 反激的 CCM/DCM 特例：耦合电感的两阶段

5.1 反激“变压器” = 耦合电感：先存后取

库内反复强调（开关电源基础概念 §2.3）：反激的磁件不是真变压器，是耦合电感——初级导通时把能量存进磁化电感（副边被反射电压反向偏置而不导通），初级关断后副边才把能量放出来。它是隔离的 Buck-Boost。本节把“先存后取”用 §2~§3 的核算定量展开；接续的严格出处（安匝连续）在 §6.3。

5.2 CCM 下能量不是逐周期全传（重新认识）

DCM 时：磁化电流每周期从零起坡，每周期送出的能量 = $\tfrac12 L_m I_{pk}^2$（全部）。这就是 微积分通识 §5.3 的 65 W QR 核算：$E_{cycle} = \tfrac12\times180\ \mu\times3.44^2 = 1.06\ \text{mJ}$，$\times70\ \text{kHz} = 74\ \text{W}$。

CCM 时：磁化电流不从零起坡，有一个结转电流 $I_{val}$ 跨周期接续——每周期送出的能量是存储能量的差额（教科书通识）： $$ E_{cycle} = \tfrac12 L_m(I_{pk}^2 - I_{val}^2) = \frac{P_o}{f_{sw}} $$

误解纠正：不是 CCM“每周期传得少”，而是同一功率下两模式的 E_cycle 必然相等（都 = Po/fsw），区别只在能量怎么分配到 Ipk/Ival 上。

24 W 主线定量对照（本库教学复算，V_OR=125 V、fsw=65 kHz、Po=24 W）：

两行 E_cycle 完全相等（= Po/fsw = 369 µJ）✓，但峰值电流差近一倍。CCM 的 RMS 同步下降：副边 $I_{rms}^2 = D_m/3\cdot(5.8^2+5.8\times2.0+2.0^2) \approx 8.1\ \text{A}^2$，对比 DCM 的 14.2 A²（§3.4）——SR 导通损耗直接降约 43%。工程含义：CCM 用“结转电流 + 大电感”把能量分散到更长的时间窗，峰值降、RMS 降；代价是次级整流管有结转电流 → 反向恢复、环路多出 RHP 零点（开关电源基础概念 §3.4）。

5.3 QR 为什么是 DCM 的变体

准谐振（QR, Quasi-Resonant）的两种“免费收益”都来自 DCM 的形态特征：

1. 零电流开通：DCM 里磁化电流从零起坡，开通瞬间初级电流 = 0 → 没有电流交越的导通损耗；且副边二极管电流自然过零 → 无反向恢复（DCM 的两大收益，开关电源基础概念 §3.2）。
2. 谷底开通（近零电压）：退磁结束后，Lm 与 Coss 谐振，V_DS 围绕母线振铃（微积分通识 §4.3：180 µH×1 nF → 375 kHz），芯片在谷底（V_bulk − V_OR）开通——开通电压大幅降低，Coss 放电损耗按电压平方下降。65 W 主线：低线谷 1 谐到 ≈8 V（接近 ZVS），高线谷 1 ≈293 V（NCP1342 03 篇 口径）。

所以 QR = DCM + 谷底开通：继承 DCM 的“零电流起坡、无恢复”，再额外把开通电压压到谷底；代价是变频（频率随负载滑动，需谷底锁定 VLO/频率折返管理，NCP1342 02 篇）。而且它的工作点精确锚在边界（退磁一结束就开下一拍，即 CRM）——所以 §4.4 的边界公式对 QR 就是“工作点公式”：P_bnd 处即设计满载点。软开关家族的全景分类在 §8。

6. 磁学三定律：从法拉第定律到反激公式

6.1 类比：水库的进出水平衡

磁通是“水库的存水”（Weber，Wb），电压是“进/出水的速度”——法拉第定律说每匝线圈感应的电压 = 磁通变化率。§2 的伏秒平衡说“电感电压一周期积分为 0”，用磁学的语言重说一遍就是：磁通一周期回到原位（存水不放干、也不蓄爆）。两条定律是同一件事的电路版与磁路版。

6.2 法拉第定律：伏秒平衡的物理底座（教科书通识）

教科书通识（法拉第定律）：$N$ 匝线圈上的感应电压 $$ > v = N\,\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} > $$ 与电感方程 $v_L = L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ 对齐（同一线圈两种写法）：$L\,\mathrm{d}i = N\,\mathrm{d}\Phi$，积分得 $L\,I = N\,\Phi = N\,B\,A_e$——这就是把“电流”换算为“磁通密度”的关系式： $$ > B = \frac{L_p\, I}{N\, A_e} \qquad(\text{通用工程公式，[反激变压器设计 §1.2]} ) > $$

用磁通语言重推反激占空比：导通期磁通斜率 $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t = V_{in}/N_p$，退磁期 $= -V_{OR}/N_p$；稳态下磁通一周期净变化为零（磁通平衡）： $$ \frac{V_{in}}{N_p}t_{on} = \frac{V_{OR}}{N_p}t_{dem} \quad\Rightarrow\quad V_{in}\,t_{on} = V_{OR}\,t_{dem} $$ ——与 §2.4 的伏秒平衡逐字相同，只是每项除掉了 $N_p$。“伏秒平衡”严格说是“磁通平衡”，伏秒是它在电路侧的记帐单位。

峰值磁通代入（65 W QR 主线，本库复算对照）：$B = \dfrac{L_p I_{pk}}{N_p A_e} = \dfrac{180\ \mu\times3.44}{45\times60\ \text{mm}^2} = 0.23\ \text{T}$（Lp、Ipk 出 NCP1342 03 篇，Np=45 匝、Ae=60 mm²）——QR 从零起坡，这个 B 就是每周期摆幅 ΔB，与库内复算一致 ✓。CCM 时磁通不从零起，改用 $\Delta B = L_p(I_{pk}-I_{val})/(N_p A_e)$（同一式子减去谷值项，反激变压器设计 §2.3 陷阱清单）。ΔB 的设计值 0.15~0.25 T 由磁损反推、不是“离饱和还远”就随意选取（变压器设计 §2.3；GaN 高频下被压到 0.10~0.17 T，UCC28781 03 篇 口径）。

6.3 磁通连续与安匝连续：两个“不能突变”（教科书通识）

教科书通识： ① 磁通连续——磁通（从而磁通密度 B）不能突变：若 Φ 能跳变，$\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t \to \infty$，法拉第定律要求无穷电压，物理上不存在。投影到电路就是“电感电流不能突变”（$L\,\mathrm{d}i = N\,\mathrm{d}\Phi$）。 ② 安匝连续——绕在同一磁芯上的总安匝 $\sum N_k i_k$ 不能突变：磁芯里只有一个磁通 Φ，它与总安匝经磁路欧姆定律（$\sum N_k i_k = \Phi\,R_m$）一一对应，Φ 连续 → 总安匝连续。

这两条“不能突变”是电源里一切“电流寻找通路”现象的总根源：

• 续流二极管/钳位电路为什么必须存在：开关关断瞬间电感电流不能归零，必须给它一条通路——Buck 的续流管、反激的 RCD 钳位、ACF 的钳位电容，都是为“不能突变的电流”提供的泄放路径（§8 的软开关则是把泄放升级为能量回收利用）。
• 反激副边“接续”的严格出处：关断瞬间初级电流被开关强制归零（$N_p i_p$ 突然消失），安匝缺口必须由次级补上——$N_s\,i_S(0^+) = N_p\,I_{pk}$，即 $i_S(0^+) = n\,I_{pk} = 10\times1.11 = 11.1$ A（24 W 主线，与 开关电源基础概念 §2.5 的波形图逐点吻合）✓。
• 漏感为什么产生尖峰：漏感的那部分安匝不耦合到次级、无法接续，电流只能作用在开关管上——RCD/钳位/谐振回收处理的就是这部分“未能接续的安匝”（§8/§9）。

6.4 安匝定律与电感系数：Lm = N²·AL（教科书通识）

教科书通识（安培环路定律的磁路版）：磁动势驱动磁通、磁阻限制磁通——$\sum N_k i_k = \Phi\,R_m$，磁阻 $R_m = \dfrac{l_g}{\mu_0 A_e} + \dfrac{l_e}{\mu_0\mu_r A_e}$（气隙主导）。定义电感系数 $A_L = 1/R_m = L/N^2$，厂商 datasheet 按气隙分档给出，绕 $N$ 匝得 $$ > L = N^2\,A_L > $$

工程含义：电感量不是“买来的”，是“匝数²×每匝能力”——磁件量产可控性的核心参数（库内实例 AL=288 nH/匝²，反激变压器设计 §9.2）。同一物理在不同架构下的落点差得很远：65 W 五家 Lm 从 1.2 mH（UC3842 定频 CCM）到 47 µH（UCC28781 过渡模式）差 25 倍（65W对比篇 §3.7）——频率（110→250 kHz）与软开关允许的高频化，通过 $N^2 A_L$ 这条式子变成磁芯小 25 倍。

6.5 为什么工程上要懂

三句话收口：伏秒（磁通）平衡决定“磁芯往哪走”——不平衡就是逐周期饱和，现场表现为变压器啸叫；两个“不能突变”决定“电流去哪”——所有续流/钳位/吸收电路的存在理由；L=N²AL 决定“磁件多大”——匝数、气隙、磁芯尺寸的全部算术。变压器设计的完整流程（AP 法、ΔB 定损耗、气隙）在 02_反激变压器设计，本节给出的是它的三条定律来源。

7. PWM 调制与占空比：控制量从哪来

7.1 类比：裁判与秒表

比较器是裁判，锯齿波是秒表：误差电压举多高，秒表跑到哪个刻度吹哨，开关就导通多久。“占空比”这个控制量，物理上就是一次电压比较的交点——这是 PWM（Pulse-Width Modulation，脉宽调制）的全部定义。

7.2 电压型 PWM：D = Ve/Vramp（教科书通识）

教科书通识：误差放大器输出 $V_e$ 与幅值 $V_{ramp}$ 的锯齿波比较，交点决定关断时刻： $$ > D = \frac{V_e}{V_{ramp}} \quad\Rightarrow\quad \text{调制器增益}\ G_m = \frac{1}{V_{ramp}}\ \ [\text{1/V}] > $$

这个比值 $V_e/V_{ramp}$ 就是经典 PWM 术语里的调制深度（modulation depth/index，$M = V_e/V_{ramp}$）：误差电压在锯齿幅值中占比多大，占空比就多大——$M=1$（$V_e=V_{ramp}$）时占空比达到上限，$M$ 越小占空比越窄。调制深度、占空比、误差电压的相对深度，三个说法是同一件事；它取倒数就是调制器增益 $G_m = 1/V_{ramp}$——锯齿幅值越大，每单位误差电压换到的 $D$ 越少（抗噪强、增益低），“调制深度”与“调制器增益”是同一比值的正反口径。

三个推论：① 锯齿幅值大 → 抗噪强但增益低（噪声 dV 折算成占空比误差 dV/Vramp；增益低则 EA 要出更高电压）；② 调制器增益 $G_m$ 是环路增益链条的一环（$\beta\cdot G_c\cdot G_m\cdot G_{vd}$，见本类下篇《控制原理通识 §2.4》）；③ 电压模式里电流不直接参与决策——输入突变必须先传导到输出、再被 EA 逐渐纠正（基础概念 §4.2）。

峰值电流模式改的是“被比较的斜坡”：斜坡不再是振荡器给的锯齿，而是由电流采样信号自身构成的斜坡（斜率 $m_1 = V_{in}/L$，达到指令值即关断）——占空比由“电流达到指令值”决定，输入前馈无需额外代价。代价是 D>50% 的次谐波离散不稳，完整推导见《控制原理通识 §8》；UC3842 例 D=0.627 必装斜坡补偿 Se=44.7 mV/µs（UC3842 03 篇 §3.11）。

7.3 频率当控制量：变频三例（库内锚点）

定频调宽（PWM）不是唯一写法——频率本身也能当控制量。调频时“每周期送多少能量”由频率间接决定，控制律的数学形态随之改变：

例一：CrM PFC 的“导通时间编程”（NCP1622，式 1~4，01_规格书全译）。电感电流归零即开通、导通时间由编程脚固定——占空比不直接可调，输入电流是导通时间与周期的函数：

$$ I_{in} = V_{in}\,\frac{t_1\,(t_1 + t_2)}{2\,T\,L} \qquad(\text{式 2：平均输入电流}) $$

（t1 导通、t2 退磁、t3 死区，式 3：$T = t_1+t_2+t_3$。）轻载时周期缩短、频率升高 → 开关损耗失控，对策是谷底同步频率折返 VSFF：频率线性衰减到约 33 kHz（式 1：$F_{SW,DCM,min} \approx 1/t_{DT,max}$，死区时间主导）；限流即式 4：$I_{ds\_max} = V_{ocp}/R_{sense}$。这条控制律下“调压”与“限流”都改用频率/时间语言，没有一处出现“D=Ve/Vramp”。

例二：LLC 的“50% 定宽变频”（HR1000A，电压模式变频，06_AN151设计指南精译）。占空比固定 50%（半桥对称），光耦误差 → VCO → 开关频率：$f_r = 1/(2\pi\sqrt{L_r C_r})$ 处增益=1（负载无关点），降频升压、升频降压；90 W 例需求峰值增益 1.25，60 kHz 处可达 1.41 ✓（AN151 §D）。频率同时是软开关的载体——死区 350 ns 内磁化电流完成换向（HR1000A README）。

例三：电流模式谐振（NCP1399，02_内部框图与工作原理 §2）。CS 脚采谐振电容分压（∝谐振电流的积分）与 FB 电压设定的门槛比较——达到门槛即关断上管：导通时间被电流实测决定，频率是被“算出来”的结果。这是把“电流达到门槛即关断”的思想从硬开关移植进谐振腔：逐周期过流保护成了控制律的附带收益（同一 CS 信号）。数字 AHB（XDPS2201）再进一步：控制律 $I_{out} = \tfrac12 N(I_{MAGpos}+I_{MAGneg})$ 直接按磁化电流正负半周算导通时间（XDPS2201 02 篇）。

7.4 五拓扑控制律对照（本库总核算）

这张表的读法：从左到右，“设计自由度”从功率级移交到控制器配置——UC3842 的设计几乎全在功率级，XDPS2201 的一半在配置表里；控制律决定了建模方法（占空比→输出 vs 频率→输出）、EMI 频谱形态（定频单谱线 vs 变频包络）与轻载策略（65W对比篇 §3.9）。

7.5 为什么工程上要懂

拿到任何一颗新 IC，第一件事问：控制量是 D 还是 f？被比较的斜坡来自振荡器还是电流自身？ 环路公式、增益公式、EMI 设计、轻载策略全部从这里分叉——拿定频公式套变频拓扑（或反之）是本库横评里排第一的经典误用（65W对比篇 §7 NCP1568 误用 1：“RT 当工作频率设→全盘错位”）。

8. 软开关分类树：免费午餐的价目表

8.1 动机：两项正比于频率的开关成本

硬开关每个周期付出两项成本（§9 有完整核算）：交越损耗 $\tfrac12 V I (t_r+t_f) f_{sw}$（400 V/2 A/40 ns/100 kHz → 1.6 W）与结电容损耗 $\tfrac12 C_{oss,er} V^2 f_{sw}$（47 pF/400 V/100 kHz → 0.38 W）——都正比于 fsw，想把频率翻倍缩小磁件，成本也翻倍（开关电源基础概念 §5.1）。软开关的全部思想要点：让“交越”与“放电”发生在 v≈0 或 i≈0 的时刻，消除这两项成本，频率才提得上去。

8.2 分类树（按“零”的是什么分）

开关方式分类树
├─ 硬开关：v、i 都不为零，两笔学费照付 —— UC3842（65 W 复算例平台 497 V，η≈85% 上限）
├─ 零电流家族（ZCS：动作时 i=0）
│   └─ DCM 天然 ZCS：电流归零后动作，二极管反向恢复连根消失
│       （反激 DCM/QR 副边、CrM PFC；反激 QR 谷 1~6 = NCP1342）
└─ 零电压家族（ZVS：开通前 v 已谐振到 0）
    ├─ 谷底开通（准谐振 QR）：不造谐振，踩自然振铃的谷 —— NCP1342（低线谷 1 ≈8 V，准 ZVS）
    ├─ 受控 ZVS（单开关反激）
    │   ├─ ACF 有源钳位：钳位电容接力谐振 + 回收漏感 —— UCC2897A（定频）/ NCP1568（变频）
    │   ├─ ZVSF 过渡模式：SR 回灌负磁化电流造 ZVS —— UCC28781（240~600 kHz）
    │   └─ FFR 负磁化注入：ZVS 绕组+小管再造一个谐振 —— XDPS21071
    ├─ 谐振拓扑
    │   ├─ LLC：谐振腔天然全 ZVS + 次级 ZCS —— NCP1399（电流模式谐振）/ HR1000A（电压模式变频）
    │   └─ AHB 不对称半桥：Cr+漏感谐振换向，两管 ZVS + 次级 ZCS —— XDPS2201
    └─ 移相全桥 PSFB（教科书通识）：全桥四管，移相角调功率、漏感+励磁谐振换向，
        滞后桥臂 ZVS——数百 W~kW 的经典方案；库内未深读专用 IC（软开关谱系见
        [[04-开关电源知识库/30_经典IC精读/07_ZVS软开关/01_横评_ZVS软开关实现|30_经典IC精读/07_ZVS软开关横评]]）

8.3 每一类的代价（消除哪项、付出什么）

读表要点：效率上限从 85% 到 93.5% 的 8.5 个点，就是这张表从上到下逐行“消除对应损耗”的总和——愿意为消除哪几项损耗付出多少复杂度，就落在哪一行（65W对比篇 §1 的选型主线）。

8.4 死区：ZVS 的“时间窗口”（电荷平衡的又一次出场）

ZVS 不是自动的——换向电流要在死区内完成节点电荷的转移（教科书通识 + 基础概念 §5.5 口径）：

$$ I_{Lm}\cdot t_{dead} \ \ge\ 2\,C_{eq}\,V_{bus} \qquad\Rightarrow\qquad 0.5\ \text{A}\times t_{dead} \ge 2\times200\ \text{pF}\times400\ \text{V} \ \Rightarrow\ t_{dead} \ge 320\ \text{ns} $$

太短则节点电压摆不到位（ZVS 失败变硬开通）、太长则电流过冲反向（有效占空比减小）——库内三代解法：HR1000A 固定死区（教材式简化）、UCC28781 自适应死区上电自学习（≈15 周期锁定）、XDPS2201 ZVS 伺服逐周期闭环（65W对比篇 §4.6、微积分通识 §6.3）。

8.5 一条容易误用的分界：谷底开通 ≠ ZVS

谷底开通落在“谐振最低点”，电压取决于工况、为 V_bulk−V_OR（24 W 主线 ≈175 V → Coss 损耗降到硬开关的约 1/5，(175/400)²≈0.19）；受控 ZVS 是每周期保证 0 V。两者的分界表就是 30_经典IC精读/07_ZVS软开关横评表 1——把 QR 当“全 ZVS”宣传、或按全 ZVS 给 QR 排热设计，都会误用。

9. 损耗分类总核算：五项核算一张表

9.1 类比：餐厅消费分栏

效率不是“一个数”，是分栏的损耗清单：导通（只要流过电流就存在）、开关（每次开关动作产生）、反向恢复（电流反向引起）、磁滞+涡流（铁和铜的隐性损耗）。会分栏，才会排查——满载热查导通、高频热查开关、变压器温度偏高查磁损。

9.2 五项核算总表（每项配库内数字）

9.3 清单外的三项“附加损耗”

五项之外还有三项常被漏算、却决定待机指标与安规的核算（65W对比篇 §4.1）：

• 漏感损耗：RCD 钳位把漏感能量耗散——同口径下 UC3842 65 W 复算 ≈2 W、NCP1342 ≈0.7 W、250 kHz 定频下 ≈4.2 W（ACF 回收的就是这一项，§8.3）；
• 整流压降：肖特基 $V_f I_o$ ≈2 W（65 W/20 V 档占 3 个效率点）——所以“65 W/20 V 没有不带 SR 的高效率方案”；
• 常耗：启动电阻 1.27 W（高线）+ X2 放电 ≈158 mW + IC 待机电流——三项常耗使 UC3842 无法达到 <100 mW 能效线，现代 IC 用片内 HV 启动/片内 X2 放电/跳模式逐项清零。

9.4 效率阶梯：每个点都是一项被消除的损耗

65 W 同规格五家的满载效率：85%（UC3842 假设）→ 88%（NCP1342）→ 93.4~93.5%（NCP1568 实测/UCC28781 目标）——对照 §8.3 的损耗消除表逐列核对，没有任何一颗 IC 靠“优化”越过架构损耗上限（65W对比篇 §3.10）。排查效率时按这张表逐项对照：满载热是导通/整流、高频热是开关/磁损、轻载差是常耗/开关占比——症状与栏位一一对应。

9.5 为什么工程上要懂

这张表把“效率”从形容词变成清单：每项损耗有公式、有库内数字、有能消除它的架构。做方案对比时，先逐行列出“谁消除了哪一项”，再看 BOM/调试/磁件管控的代价——§8 的分类树（技术路线）与 §9 的总核算（经济性核算）合起来，就是选型的全部依据。

10. 状态空间平均（简介）：开关电路如何变成连续模型

10.1 问题：开关电路是“时变”的，环路没法直接分析

反馈环路要设计，需要“控制量 D → 输出电压”的传递函数（频域增益/相位，见本类下篇《01_控制原理通识》）。但开关电路每隔一个周期就换一次拓扑（导通回路、关断回路、死区回路）——它是时变、不连续的，直接分析不可行。

10.2 思想：用一个周期的平均电路代替开关电路

**状态空间平均（state-space averaging）**的核心想法要点：当纹波远小于平均值时，一个周期内电感电流、电容电压几乎不变，可以用“每个开关状态的平均电压/电流关系”拼出一个连续等效电路——把开关网络换成一个“理想直流变压器”（平均模型）。

直觉类比：看交通流量不看每一辆车，看“每分钟通过的车数”——开关就是车流里的每一辆，环路关心的是“每分钟的平均流量”。

10.3 平均状态方程长什么样（Buck 为例，教科书通识）

Buck 的 CCM 平均模型（小纹波假设下，导通/关断两状态取平均）： $$ L\frac{d\langle i_L\rangle}{dt} = D\langle v_{in}\rangle - \langle v_o\rangle, \qquad C\frac{d\langle v_o\rangle}{dt} = \langle i_L\rangle - \frac{\langle v_o\rangle}{R} $$

两个状态量：平均电感电流 $\langle i_L\rangle$ 与平均电容电压 $\langle v_o\rangle$——为什么是它们：电感电流决定储能（§2 的电流），电容电压决定输出（§3 的水位类比），其余量（开关电压、二极管电流）都是它们的“跟随者”。令这两个方程左边导数为 0，立刻退回 §2/§3 的伏秒/电荷平衡——平均模型在稳态下自动退化为我们前面推的一切，这是它可信的根源。

10.4 代入数值 + 小信号化（为环路铺路）

把上述方程扰动线性化（各量拆成“工作点 + 小扰动”，略去二阶小量），得到控制到输出的小信号传递函数（教科书通识）： $$ G_{vd}(s) = \frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{d}(s)} \approx \frac{V_{in}}{1 + \dfrac{sL}{R} + s^2 L C} \qquad(\text{Buck CCM，理想}) $$ 这是一个二阶系统，谐振点就是 LC 滤波器的 $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$。代入 Buck 12→5 V、L=100 µH、C=100 µF、R=1 Ω： $$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{100\ \mu\times100\ \mu}} \approx 1.6\ \text{kHz}, \qquad Q = R\sqrt{\frac{C}{L}} = 1 $$

工程含义：环路补偿（20_基本元器件/04_隔离反馈器件 的 Type II/III 补偿）在 1.6 kHz 处给这个双极点“加零点”撑相位——补偿器为什么把零点放在穿越频率 1/10 处、为什么要压这个 LC 极点，全部源自这个平均模型。它是03_环路补偿与TL431光耦与 Basso 那套方法的数学底座，也是本类下篇《控制原理通识》（传递函数/波特图/负反馈）的直接入口。

10.5 模式不同，平均模型不同（要点）

• DCM：电感电流每周期从零起坡，不再是独立“状态量”（由 D 和电压代数决定），平均模型退化为一阶且带负载电阻——这就是“反激 DCM 环路好稳（一阶系统、无 RHP 零点）”的来源（开关电源基础概念 §3.4）。
• CCM 反激/Boost：能量在开关与二极管间换流，产生右半平面零点（RHPz），把环路带宽限制在 ≤ f_RHPz/4——这是 CCM 的“固有代价”（UC3842 例 7.07 kHz → fc ≤ 1.77 kHz，实战篇 §1.3）。

为什么工程上要懂：环路调试调的是“补偿网络”，而补偿网络要对付的对象（被控对象 Gvd）就是状态空间平均算出来的——补偿器是解，平均模型是题。读懂这节，《控制原理通识》就能直接从传递函数开始，不必回头补开关电路。

11. 精炼速查

11.1 公式卡：电力电子理论 → 电源对照表

11.2 五行口诀

• 电感看伏秒，电容看电荷：稳态下两个积分必须为零——所有电压/占空比/电容公式都是它们，磁学三定律（法拉第/磁通连续/安匝）是物理底座。
• 模式看归零：电感电流归零与否定 CCM/DCM——边界统一于“平均 = 纹波一半”；模式一变，增益公式、环路模型、损耗核算全部换版本。
• 控制量先问 D 还是 f：PWM 调制（D=Ve/Vramp）、导通时间编程（NCP1622）、变频谐振（HR1000A/NCP1399）——环路公式与 EMI 形态从这里分叉。
• 软开关按“零什么”分类：ZCS 免反向恢复、ZVS 免交越与容性——QR→ACF/ZVSF/FFR→LLC/AHB 逐级消除对应损耗，代价是复杂度逐级增加。
• 效率是分栏的损耗清单：导通/开关/反向恢复/磁滞/涡流五项加三项附加损耗——85%→93.5% 的每个点对应一项被消除的损耗。

11.3 库内锚点速引（本篇概念 → 库内落点）

与库内文档联动

• 主线数值出处：01_开关电源基础概念（§2.5 24 W 主线、§3 CCM/DCM、§4 控制律、§5 损耗、§6.1 SR 损耗）
• 65 W QR 主线：NCP1342 03 篇（n=5、V_OR=103 V、Ipk=3.44 A、t_on=6.9 µs、t_dem=6.0 µs、谷 1 电压、Np/Ae）；QR 谷底锁定/频率折返见 NCP1342 02 篇
• 全库横向：04_65W适配器五拓扑同规格对比（设计顺序对比 §3.11、控制/EMI/效率 §3.9/3.10、待机 §4.1、误用 §7）
• 磁学根：02_反激变压器设计（§1.2 磁路四件套、§2.3 ΔB 由损耗定、§4.3 集肤、§6.2 Steinmetz、§9.2 AL 实例）
• 器件层：MOSFET架构演进（Qrr 与硬换流、Eoss、Coss 能量等效口径）、03_功耗计算全译（P=RDS(on)·I²RMS）
• 变频/谐振控制：NCP1622 00_规格书全译（VSFF 式 1~4）、HR1000A 00_规格书全译 与 06_AN151设计指南精译（50% 变频、fr/增益曲线）、NCP1399 02 篇（电流模式谐振）
• 数学上游：01_微积分通识（伏秒/电荷平衡的积分本质、½LI² 能量核算、RMS 推导）、01_电路原理通识（KCL/KVL 版本、ζ/Q）
• 环路下游：03_环路补偿与TL431光耦、20_基本元器件/04_隔离反馈器件（Basso 方法），以及本类下篇《01_控制原理通识》

上一级：04_开关电源