数值说明：本文的代入数值为本库教学复算，用于说明计算过程与量级，不作为设计依据；引用的库内实例均标注出处（型号/文件号），通用公式标「教科书通识」。
第 04 讲 · 级数与泰勒展开
本讲要解决什么问题
电源分析里反复出现一句话：“在工作点附近做小信号线性化”。这句话听起来像是“近似”、不太可靠，但它其实是控制理论能用的数学许可证——线性系统才能画波特图、才能判稳定、才能算补偿器。
本讲要回答：这个近似在什么条件下合法、误差有多大、什么时候会失效。
1 为什么需要级数
电源里的函数常常复杂到无法直接求导或求值：
- 二极管的 $I = I_S\left(e^{V/(nV_T)}-1\right)$：导数里仍有指数
- 磁芯损耗曲线：只有图表，没有解析式
- 开关函数：分段常数，处处不连续
级数提供了一条出路：把复杂函数在某个点附近展开成多项式。多项式的一切（求导、积分、画图、算频率响应）都极其容易。
2 泰勒公式
函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近展开：
$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \cdots$$
只保留前两项时：
$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$
这是一次函数，这就是“线性化”。
误差从二阶项开始，量级为 $\dfrac{1}{2}\left|f''(x_0)\right|(x-x_0)^2$。
3 一个具体例子：二极管的小信号
二极管方程：
$$I = I_S\left(e^{V/(nV_T)} - 1\right)$$
在某个工作点 $V_0$ 处线性化：
$$\frac{dI}{dV} = \frac{I_S}{nV_T}e^{V/(nV_T)} \approx \frac{I_0}{nV_T}$$
于是小信号等效电阻：
$$r_d = \left(\frac{dI}{dV}\right)^{-1} = \frac{nV_T}{I_0}$$
这就是“二极管的动态电阻”的推导。工程上常用近似 $V_T = 26\ \text{mV}$（室温 300 K）。
工程含义：二极管的动态电阻随工作电流反比变化——电流越大，动态电阻越小。这就是“大电流场合二极管压降不可忽略、必须用肖特基或同步整流”的数学原因。
4 小信号线性化在电源里的标准做法
4.1 三步法
1. 写出非线性关系
2. 找到工作点（直流平衡点）
3. 变量 = 工作点 + 扰动，只保留一阶项
4.2 例子：变换器增益
真实关系（Buck，CCM）：
$$\Delta v_{out} = \frac{\bar{V}_{in}}{LC}\,\frac{\Delta d}{s^2 + \frac{L}{R}s + 1}$$
这个传递函数不是“近似”，而是对功率级在特定工作点附近做线性化 + 平均化的结果。 它在小信号范围内准确，大信号（占空比大幅变化、进入 DCM）时不适用。
4.3 什么时候可以用
| 条件 | 说明 |
|---|---|
| 扰动足够小 | $\lvert \Delta x \rvert \ll$ 曲线的特征尺度 |
| 系统稳定 | 系统正在工作点附近运行 |
| 不涉及模式切换 | CCM↔DCM 切换点附近线性化失效 |
判断扰动“足够小”的方法：估算二阶项与一阶项的比值
$$\frac{\text{二阶项}}{\text{一阶项}} \approx \frac{1}{2}\frac{\left|f''\right|}{\left|f'\right|}\cdot\left|\Delta x\right|$$
经验判据：这个比值 < 0.1 时误差可接受（<10%）。超过 0.3 就必须考虑高阶项。
5 高阶项在电源中的实际影响
| 现象 | 是否线性化导致 | 处理 |
|---|---|---|
| 轻载效率低于预期 | 部分是（导通损耗 $\propto I^2$ 是非线性的） | 用分段模型或直接实测 |
| 大负载时环路增益偏低 | 部分是（CCM 参数下模型不同） | 分段建模 |
| 温度变化时精度漂 | 不是，是元件本身的温度系数 | 靠容差分析与校准 |
| 动态负载响应不对称 | 不是 | 靠死区/限幅设计 |
重要判断：很多“设计理论对不上实测”的现象不是线性化的问题，而是元件的非理想性（ESR 随频率、CTR 老化、磁损曲线非线性）。先排查元件，再怀疑模型。
6 级数的其他用途
6.1 傅里叶级数：方波也能展开
任何周期函数都可以展开成“直流 + 正弦之和”：
$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)\right]$$
方波的系数按 $1/n$ 衰减——这是 EMI 频谱的来源（详见傅里叶与频域通识）。
6.2 二项式展开（快速估算）
$$(1+x)^n \approx 1 + nx\quad (x \ll 1)$$
电源里的用法：估算“输入电压 ±10% 变化后，某个量的变化”：
$$\left(1\pm0.1\right)^2 = 1 \pm 0.2 + 0.01 \approx 1\pm0.2$$
这是一阶近似，精度 1%。若要更准，保留二次项。这个技巧在快速容差估算里非常有用。
6.3 泰勒展开求“变化量的变化量”
已知 $y=f(x)$，求 $\frac{\Delta y}{y}$ 的近似：
$$\frac{\Delta y}{y} \approx \frac{f'(x)}{f(x)}\cdot\Delta x$$
右边是对数敏感度（弹性）。这正是容差分析中灵敏度系数的定义。详见容差分析。
7 本讲速查
| 记不住就查这张表 | 内容 |
|---|---|
| 泰勒公式 | $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\Delta x + \frac{1}{2}f''(x_0)\Delta x^2 + \cdots$ |
| 线性化 | 只留前两项；误差从二阶项开始 |
| 二极管动态电阻 | $r_d = nV_T/I_0$，室温 $V_T \approx 26$ mV |
| 适用条件 | 扰动小、系统稳定、不在模式切换点 |
| 经验判据 | 二阶/一阶 < 0.1 可用，> 0.3 需高阶项 |
| 快速估算 | $(1+x)^n \approx 1+nx$（$x \ll 1$） |
| 对数敏感度 | $\dfrac{\Delta y}{y} \approx \dfrac{f'}{f}\Delta x$ |
| 排查顺序 | 先怀疑元件非理想性，再怀疑模型 |
8 自检问题
- 用泰勒公式推导电感的伏秒关系 $v_L = L\dfrac{di}{dt}$（提示：$i_L$ 是电流，$v_L$ 是电流的导数乘以 $L$）。
- 某拓扑的输入-输出关系是非线性的，为什么在工作点附近可以用线性模型？这在什么条件下会失效？
- 计算二极管在 $I_0 = 1$ A、$n=1$ 时的动态电阻，并与 $I_0 = 10$ A 时对比，说明工程含义。
- 用一阶近似估算 $(1.05)^3$，并与精确值比较，误差多大？
- 为什么“轻载效率低于理论值”通常不是线性化造成的？应该怎么排查？
与库内文档联动
- 上一讲：第 03 讲 · 积分与微积分基本定理
- 下一讲：第 05 讲 · 复数与欧拉公式
- 深入：理论专题一 · 状态空间平均法
上一级：01_数学
自检题答案见：自检题参考答案