数值说明：本文的代入数值为本库教学复算，用于说明计算过程与量级，不作为设计依据；引用的库内实例均标注出处（型号/文件号），通用公式标「教科书通识」。
数学专题八 · 容差分析与蒙特卡洛
样机ok、批量不行——这是电源量产最常见的困境，根因几乎都是容差分析没做。本篇给出可直接套用的容差传递方法与蒙特卡洛流程，并回答“1% 电阻够不够”“公差怎么叠”“良率怎么估”三个具体问题。
0 本篇速览
| 问题 | 方法 | 一句话 |
|---|---|---|
| 各元件公差怎么传到输出 | 灵敏度分析（偏微分） | 先算谁最敏感，再决定压哪个 |
| 公差怎么叠 | 算术和（保守）或 RSS（统计） | 保守做法与统计做法差很多 |
| 良率大概多少 | 蒙特卡洛抽样 | 统计独立公差的分布 |
| 抽样多少够 | 标准差收敛 | $\sigma/\sqrt{N}$ 足够小 |
| 怎么不超规格 | 加严关键料 | 降低最敏感项的公差 |
1 为什么容差分析是量产必做项
设计时用的都是标称值 + 典型值，而量产时每个器件都落在公差带内的某处。设计结论对这些偏差的敏感程度，决定了批量的良率。
成本对比：容差分析花几小时，批量返工花几万。这是全库投入产出比最高的一项计算。
2 灵敏度分析：谁最敏感
设输出 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，则输出相对误差的一阶近似：
$$\frac{\Delta y}{y} \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}\cdot\frac{\Delta x_i}{x_i}$$
$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\cdot\dfrac{x_i}{y}$ 称为灵敏度系数 $S_i$：它表示“第 $i$ 个元件的相对偏差，会引起多少倍的输出相对偏差”。
做法：
- 写出解析关系式 $y=f(x)$；
- 对每个 $x_i$ 求偏导，得到灵敏度系数；
- 按 $|S_i|\cdot \text{tol}_i$ 排序——排在前面的就是需要压公差的料。
电源实例：反馈分压链
$$V_o = V_{ref}\left(1 + \frac{R_1}{R_2}\right)$$
$$S_{V_{ref}} = 1,\qquad S_{R_1} = \frac{R_2}{R_1+R_2},\qquad S_{R_2} = -\frac{R_2}{R_1+R_2}$$
灵敏度系数之和恒为 1（对数和关系），意味着分压比误差与基准误差等权。
3 公差叠加的两种做法
| 方法 | 公式 | 假设 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 算术和（最坏情况） | $\delta = \sum |S_i|\,\delta_i$ | 全部同向取边界 | 偏保守 |
| 方根和（RSS） | $\delta = \sqrt{\sum (S_i\delta_i)^2}$ | 独立、零均值、随机分布 | 统计合理 |
两者差异很大：三只 1% 电阻，算术和给 3%，RSS 给 1.73%。
工程选择：
| 场景 | 建议 |
|---|---|
| 规格必须保证（安规相关） | 算术和 |
| 常规性能指标 | RSS |
| 成本敏感、允许少量不良 | RSS + 蒙特卡洛估算良率 |
注意 RSS 的前提是“独立”。同批次电阻的温度系数是系统性偏差，不随抽样变化——对这部分不能用 RSS，必须用算术和或单独建模。这是 RSS 最常见的误用。
4 蒙特卡洛方法
当公差项较多、或有非线性关系时，用解析法会过于保守（偏微分只在参考点附近有效），此时用抽样法。
流程：
1. 建立模型 y = f(x1, ..., xn)
2. 定义分布 每个 xi：均匀 ±tol_i，或正态 σ_i = tol_i/3
3. 抽样 独立生成 N 组 (x1...xn)
4. 计算 每组算一次 y
5. 统计 超规格的比例、输出的均值与标准差
6. 收敛判断 σ_y/√N < 5% 或固定 N = 10^4
分布假设的选择：
| 分布 | 何时用 |
|---|---|
| 均匀分布 $\pm tol$ | 数据手册只给最大最小值（多数电阻、电容） |
| 正态分布 $\sigma = tol/3$ | 有实测批次数据，或供应商声明分布 |
| 三角分布 | 介于两者之间的折中假设 |
收敛判据：输出均值的估计误差为 $\sigma_y/\sqrt{N}$，要求它小于目标不确定度的 1/5 即可停止。$N = 10^4$ 时相对标准误差约 1%，对多数设计足够。
5 良率与质量等级
$$\text{良率} = P(y \in [\text{下限},\text{上限}])$$
$$DPPM = (1 - \text{良率})\times 10^6$$
| 良率 | DPPM | 适用场景 |
|---|---|---|
| 99.0% | 10,000 | 一般消费类 |
| 99.9% | 1,000 | 工业/通信 |
| 99.99% | 100 | 汽车/医疗 |
| 99.999% | 10 | 高可靠场合 |
良率与成本的关系：良率从 90% 提到 99%，单板成本上升通常在 10~20% 量级；良率从 50% 提到 90%，成本可能上升 50% 以上。良率低于 90% 时，优先排查设计问题而不是优化制程。
6 电源设计的三个容差实例
6.1 输出电压精度
以 5 V 输出、分压 $R_1/R_2 = 3\ \Omega$ 为例（$S_{R_1} = 0.75$、$S_{R_2} = -0.25$）：
| 来源 | 公差 | 灵敏度 | 贡献 |
|---|---|---|---|
| TL431 基准 | ±0.5% | 1.0 | ±0.5% |
| $R_1$ | ±1% | 0.75 | ±0.75% |
| $R_2$ | ±1% | 0.25 | ±0.25% |
- 算术和：±1.5%
- RSS：$\sqrt{0.5^2+0.75^2+0.25^2} = 0.96\%$
结论：约 1% 的精度需要 0.5% 基准 + 1% 电阻。想再压到 0.5%，必须换高精度基准（基准是主导项，电阻反而不是）。
6.2 增益链放大（小信号大增益的陷阱）
库内XDPS2201 类的增益链记录过典型案例：分压电阻误差被增益链放大约 8 倍（该例为 7.96 倍）后再落到 $V_{out}$ 判读上。
工程含义：放大级之后的容差几乎被完全保留到输出，而放大级之前的误差被衰减了 $\dfrac{1}{A}$。设计评审时必须问：误差是落在增益链的前面还是后面？
6.3 环路参数离散性
| 参数 | 离散来源 | 对稳定性的影响 |
|---|---|---|
| 光耦 CTR | 批次、寿命老化 | 相位裕量漂移（库内 UC3842 篇有实测记录） |
| 补偿电容容值 | 批次、温度 | 零点/极点位置漂移 |
| 变压器漏感 | 绕组工艺 | 谐振点移动 |
为什么闭环比开环更难量产：开环只关心直流精度（公差可静态分析），闭环关心动态（CTR 老化会随时间变化，标称合格不代表寿命末期合格）。库内环路补偿与 TL431 光耦记录了“温度一变输出精度就漂、环路随老化变差”这一典型陷阱。
设计对策：把 CTR 老化（出厂值的 60~80%）纳入最坏情况核算，而不是按标称值算裕量。
7 速查
| 记不住就查这张表 | 内容 |
|---|---|
| 灵敏度系数 | $S_i = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\cdot\dfrac{x_i}{y}$ |
| 公差叠加（保守） | $\sum|S_i\delta_i|$ |
| 公差叠加（统计） | $\sqrt{\sum(S_i\delta_i)^2}$，前提是独立 |
| 最该压公差的是谁 | $\max |S_i\delta_i|$ 那一项 |
| 蒙特卡洛收敛 | $\sigma_y/\sqrt{N} < 5\%$ |
| 正态分布假设 | $\sigma = tol/3$ |
| 良率 99.9% | DPPM = 1000 |
| RSS 的最大坑 | 系统性偏差（温度系数、批次漂移）不能用 RSS |
与库内文档联动
- 建模纪律：建模方法论
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- 量产与可靠性：可制造性与失效分析、可靠性设计
- 实例出处：XDPS21071/03 典型应用与设计计算
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