开关电源知识库

数值说明：本文的代入数值为本库教学复算，用于说明计算过程与量级，不作为设计依据；引用的库内实例均标注出处（篇目/章节），通用公式标「教科书通识」。

第 09 讲 · 正弦稳态阻抗与功率

本讲要解决什么问题

第 05 讲把相量法交到了你手上：微分变乘 $j\omega$，RLC 网络当电阻网络算。本讲把它落到三件电源工程师天天要碰的事上：

一句话：阻抗管“电流怎么流”，功率管“流过去的是什么”。两个都通了，交流侧的分析就齐了。

1 阻抗是频率的函数：从 EMI 滤波器说起

第 05 讲的结论照搬（「教科书通识」）：

$$Z_R = R,\qquad Z_L = j\omega L,\qquad Z_C = \frac{1}{j\omega C}$$

串联相加、并联取倒数和（$\dfrac{1}{Z_{\text{并}}} = \sum \dfrac{1}{Z_k}$），规则与纯电阻网络完全一样，只是把实数换成复数。关键在 $\omega$：阻抗不是元件的“身份证”，而是元件在某频率下的“表现”。

算例（本库教学复算）：X 电容 $C = 2.2\ \mu\text{F}$，问它在两个频率下的容抗。

两遍核对（比值法）：容抗与频率成反比，$1447\times\dfrac{50}{150000} = \dfrac{1447}{3000} \approx 0.482$，与直算一致。

同一个电容，对工频近乎开路、对 EMI 频段近乎短路——这就是 X 电容“跨在火线与零线之间”的底气：它给 150 kHz 的噪声找了条近路回家，却几乎不碰 50 Hz 的工作电流。

2 RLC 串联完整算例：本讲的主力例

后面几节反复用这组参数，先一次算透（本库教学复算）。

主力例：R、L、C 串联接工频正弦源。$R = 10\ \Omega$、$L = 10\ \text{mH}$、$C = 220\ \mu\text{F}$、$f = 50\ \text{Hz}$。求总阻抗。

推导链：

$$\omega = 2\pi f = 314.16\ \text{rad/s}$$

$$X_L = \omega L = 314.16\times0.01 = 3.142\ \Omega,\qquad X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314.16\times2.2\times10^{-4}} = 14.47\ \Omega$$

感抗与容抗方向相反（一正一负），虚部相减：

$$Z = R + j(X_L - X_C) = 10 - j11.33\ \Omega$$

幅值与相角：

$$\vert Z\vert = \sqrt{10^2 + 11.33^2} = \sqrt{228.3} \approx 15.11\ \Omega,\qquad \angle Z = \arctan\frac{-11.33}{10} \approx -48.6°$$

虚部为负 → 电路呈容性：电流领先电压 48.6°。

两遍核对：$X_C$ 重算——$314.16\times0.00022 = 0.06912$，$1/0.06912 = 14.47$ ✓；幅值重算——$11.33^2 = 128.3$，$100+128.3 = 228.3$，$\sqrt{228.3} \approx 15.11$（$15.11^2 = 228.31$）✓。

本例 50 Hz 下容抗占上风——但换个频率就可能翻转，这正是下一节“谐振”的入口。

3 谐振的阻抗视角：与第 08 讲的振铃是同一件事

3.1 两种谐振，一张阻抗图

谐振频率与第 08 讲同一条公式：

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

主力例接着算（本库教学复算）：$f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.01\times2.2\times10^{-4}}} = \dfrac{1}{2\pi\times1.4832\times10^{-3}} \approx 107.3\ \text{Hz}$。

两遍核对：在 $f_0$ 处 $\omega_0 = 674.2\ \text{rad/s}$，$\omega_0 L = 6.742\ \Omega$ 与 $\dfrac{1}{\omega_0 C} = \dfrac{1}{674.2\times2.2\times10^{-4}} = 6.742\ \Omega$ 相等——感抗容抗正好对消，谐振成立 ✓。

主力例的 $f_0 \approx 107\ \text{Hz}$ 比 50 Hz 高：低于 $f_0$ 电路呈容性（本例 50 Hz 处正是如此），高于 $f_0$ 转感性——一张阻抗相角图就能读出“什么频率下电路是什么脾气”。

3.2 与第 08 讲打通：同一个 f0 的两种看法

第 08 讲从时域看：阶跃激励下欠阻尼回路振铃，振铃频率 $\omega_d \approx \omega_0$、包络按 $e^{-\zeta\omega_0 t}$ 衰减。本讲从阻抗域看：同一回路在 $f_0$ 处阻抗虚部过零、幅值出峰或谷。两幅图是同一个 $f_0$：

视角 问的问题 看到的 主力例数值（本库教学复算）
时域（第 08 讲） 扰动一下，怎么收场？ 振铃频率与衰减快慢 $\zeta = \dfrac{R}{2Z_0} \approx 0.74$，欠阻尼但接近临界
阻抗域（本讲） 施加正弦激励，如何响应？ 阻抗谷/峰与相角跳变 $f_0 \approx 107\ \text{Hz}$，谷底 $Z = R = 10\ \Omega$

其中 $Z_0 = \sqrt{L/C} = \sqrt{0.01/2.2\times10^{-4}} = 6.742\ \Omega$，$Q = Z_0/R = 0.674$，与 $\zeta = 1/(2Q) = 0.742$ 互检一致（串联口径公式见第 08 讲 §2）✓。Q 只有 0.67，阻抗谷浅而钝；第 08 讲的开关节点回路（$Z_0 \approx 31.6\ \Omega$、R 毫欧级）Q 高出几个数量级，阻抗图上就是一根又深又尖的谷/峰，时域里就是 5 MHz 的那段毛刺。阻尼在哪个域里都是同一个阻尼作用。

4 功率三件套：P、Q、S

电压电流都按正弦稳态算出来之后，下一个问题是“流过去的到底是什么”。设电压、电流有效值为 $U$、$I$，电流滞后电压 $\varphi$ 角，平均下来得到三件套（「教科书通识」）：

量 公式 单位 物理含义
有功 P $P = UI\cos\varphi$ W 真正被消耗、变成热与机械功的部分
无功 Q $Q = UI\sin\varphi$ var 在 L、C 与电源之间来回搬运、净消耗为零的部分
视在 S $S = UI$ VA 电压乘电流的容量，决定电流应力

三者构成功率三角形：$S^2 = P^2 + Q^2$（「教科书通识」）。取感性 Q 为正、容性为负（本书口径）。单相系统的瞬时功率以 $2\omega$ 脉动——50 Hz 电网就是 100 Hz 脉动，这正是单相 PFC 母线 100 Hz 纹波的来历（教科书通识；PFC 电压环为此压得极慢，见 §5 的库内链接）。

主力例的功率核算（本库教学复算）：接 230 V 有效值正弦源。

两条独立路径得到同一个数，功率三角形闭合。容性负载 Q 为负、P 照常为正——电容只搬运不消耗，电阻只消耗不搬运。

4.1 为什么电流应力和走线按 S 定，不按 P

铜损不区分相位，只由 $I^2R$ 发热决定。给定电压下电流由 $I = S/U$ 决定——同样的有功，无功越大、S 越大、电流越大，铜损与压降跟着上涨。主力例就是实例：电路里真正做功的只有 2.32 kW，导线却要承载 15.22 A；若换纯电阻输送同样有功，只需 $I = 2317/230 = 10.07\ \text{A}$——白白多出五成电流。变压器容量用 kVA 标注、断路器按电流整定、走线按载流截面选，全都“按 S 取值”（业界通识口径）。

5 功率因数完整定义：位移 × 畸变（本讲核心）

5.1 定义与两个成分

$$\text{PF} = \frac{P}{S}$$

若电流是纯正弦（电压恒按正弦计——电网侧口径），PF 退化为 $\cos\varphi_1$，这就是位移因子（$\varphi_1$ 是基波电压电流的相位差）；若电流带谐波，再乘一个畸变因子（「教科书通识」，库内开关电源基础概念 §7.2 同式）：

$$\text{PF} = \cos\varphi_1 \times \frac{1}{\sqrt{1+\text{THD}^2}}$$

THD 是电流总谐波失真——基波之外的全部谐波含量，定义见库内傅里叶篇 §6.2。两个成分各管一件事：$\cos\varphi_1$ 管“基波电流与电压错没错相位”，$1/\sqrt{1+\text{THD}^2}$ 管“电流像不像正弦”。

库内既有口径（逐字引用，出处：傅里叶与频域通识 §6.2/§6.3，教科书通识口径）：

纯正弦、无相移时 $PF = 1/\sqrt{1+\text{THD}^2}$。

50% 方波 THD ≈ 48.3%

两式相接，方波激励下的功率因数（一步代入，本库教学复算）：$0.483^2 = 0.233$，$1/\sqrt{1.233} \approx 0.90$。哪怕相位完美对齐，方波电流也只能拿到 PF ≈ 0.90——畸变因子独立扣分，与位移因子相乘、各扣各的。

5.2 从窄脉冲到 PFC：功率因数的工程现场

整流桥后面直接挂大电容（无 PFC 的经典输入级），电流只在电压峰值附近以窄脉冲形式流动。库内既有口径：“功率因数（PF, Power Factor）低至 0.5~0.6（经验量级）”（出处：开关电源基础概念 §7.1，业界通识经验量级）。后果核算（库内口径逐字引用，出处同上 §7.2）：

100 W 设备 @230 V：PF=0.55 时 I_rms = 100/(230×0.55) ≈ 0.79 A；PF=0.99 时 ≈ 0.44 A

同一台设备，电网要送的电流差近一倍——电缆、断路器、配电网的损耗都由这一电流承担。这就是 PFC 存在的理由：把窄脉冲整形成正弦包络，让畸变因子回到 1 附近。有源 PFC 把 PF 做到 0.98 以上是工程实战量级（业界通识口径；库内配套锚点：PF=0.99 只要求 THD≈14%，开关电源基础概念 §7.2；“工程上 PFC 做得好，THD 可压到 5%~10% 量级”，傅里叶篇 §6.2 数值感段）。工程解法（Boost 整形、图腾柱、双环控制）在库内 PFC 板块专讲：06_PFC 导览。

顺带解除一个常见误解（库内开关电源基础概念 §7.4 口径）：PFC 主要不是为了省自己的电费——电费按有功结算，PFC 的收益在电网侧电流与法规合规（谐波限值）。一句话：PF 是电网的核算，效率才是自己的核算（傅里叶篇 §6.3 同口径）。

5.3 两个因子的教学例（本库教学复算）

基波滞后一点、谐波也有一点：$\cos\varphi_1 = 0.98$、$\text{THD} = 10\%$。畸变因子 $\dfrac{1}{\sqrt{1.01}} = \dfrac{1}{1.005} = 0.995$（两遍核对：$1.005^2 = 1.010025 \approx 1.01$ ✓），故 $\text{PF} = 0.98\times0.995 = 0.975$。相位项与谐波项相乘，谁也不能替代谁——只修相位不修波形，PF 封顶 0.995；只修波形不管相位，同样到不了 1。

6 最大功率传输与阻抗匹配：信号链要、功率级不要

戴维南等效后，源变成 $U_s$ 串 $R_s$ 带负载 $R_L$（第 06 讲口径）。负载功率 $P_L = \dfrac{R_L}{(R_s+R_L)^2}U_s^2$，对 $R_L$ 求极值得最大功率传输条件 $R_L = R_s$（交流情形扩展为共轭匹配 $Z_L = Z_s^*$，「教科书通识」）。此刻传输效率恰为 50%——一半功率消耗在电源内阻上。

两个世界的取舍：

场景 取舍 依据
信号链（RF、通信、传感） 要匹配 信号是 mW 级，“多传一点”比“省一点”值钱；反射与驻波也要靠匹配压
功率级（电源、电机驱动） 绝不匹配 $\eta = \dfrac{R_L}{R_s+R_L}$，匹配即 50% 上限；要的是 η，不是最大 $P_L$

效率核算一眼可见（本库教学复算）：$R_L = 100R_s$ 时 $\eta = 100/101 \approx 99.0\%$。功率级的做法是把 $R_s$（导通电阻、磁损铜损的折算电阻）做到负载的百分之一以下——效率与匹配天然对立：匹配最大化“传过去多少”，功率设计最小化“浪费掉多少”。信号链追求前者，功率级追求后者。

7 三相核算

大功率走的另一条路是三相。本课只列三项要点（教科书通识，详细在第 15~18 讲展开）：

  1. 电压的 √3 关系：星形联结下 $U_{\text{line}} = \sqrt{3}\,U_{\text{phase}}$。标称相电压 230 V × 1.732 = 398.4 V ≈ 400 V 线电压——电网标称 400/230 V 正是这条 √3 关系。
  2. 功率公式：三相对称负载 $P = \sqrt{3}\,U_{\text{line}}\,I_{\text{line}}\cos\varphi$。
  3. 电流应力：同样的功率分摊到三根相线，每根只承受三分之一。

核算一项（本库教学复算）：送 3.3 kW（$\cos\varphi = 1$）。

两遍核对：$3\times4.783 = 14.35\ \text{A}$，与单相那根线完全一致——同样的总铜量，单相让一根线满负荷，三相摊给三根，开关管、电感、走线的电流应力同比例下降 ✓。

再加一条谐波红利（库内锚点，傅里叶与频域通识 §6.6 口径）：“三相对称”杀掉 3 次及三倍频谐波——单相整流最头疼的 3 次谐波，在三相线电流里天然不存在。所以大功率（充电桩、服务器电源）走三相 PFC：电流应力小、三次谐波免了、瞬时功率无 $2\omega$ 脉动（母线电容负担也轻）。单相小功率用 PFC、大功率上三相，是同一个“电流整形”问题的两条工业路线（傅里叶篇 §6.6 同口径）。

8 统一图景

相量法（第 05 讲，微分变乘 jω）
   └─→ 复阻抗 Z(ω)：R、L、C 统一成一根复数
         ├─→ 串并联算总阻抗 → 幅值 + 相角 → 稳态电流
         │      └─→ 虚部过零 = 谐振（与第 08 讲振铃同一个 f0）
         ├─→ 稳态电流 × 电压 → 功率三件套 P / Q / S
         │      ├─→ 功率三角形 S² = P² + Q²
         │      └─→ PF = P/S = cosφ₁ × 1/√(1+THD²)
         │             └─→ 窄脉冲 PF 0.5~0.6 → PFC 整形 → 06_PFC 板块
         ├─→ 最大功率传输（信号链匹配，η=50%）vs 效率（功率级不匹配）
         └─→ 三相 √3 一笔账 → 大功率的另一条路（第 15~18 讲展开）

第 05 讲给出了工具，本讲用它写了第一篇完整的文章：阻抗决定电流，功率决定流向，PFC 决定波形。

9 本讲速查

记不住就查这张表 内容
三个阻抗 $Z_R = R$、$Z_L = j\omega L$、$Z_C = 1/(j\omega C)$；串并联与电阻网络同法
主力例 10 Ω 串 10 mH 串 220 µF @50 Hz：$Z = 10 - j11.33\ \Omega$，$\vert Z\vert = 15.11\ \Omega$，相角 −48.6°，容性
谐振 $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$；串联阻抗最小、并联阻抗最大
功率三件套 $P = UI\cos\varphi$（W）、$Q = UI\sin\varphi$（var）、$S = UI$（VA）
功率三角形 $S^2 = P^2 + Q^2$；感性 Q 为正、容性为负
电流应力 按 $I = S/U$ 定，铜只认 $I^2R$；变压器标 kVA 不标 kW
功率因数 $\text{PF} = P/S = \cos\varphi_1\times1/\sqrt{1+\text{THD}^2}$（电压按正弦计口径）
库内锚点 方波 THD ≈ 48.3% → PF ≈ 0.90；无 PFC 窄脉冲 PF ≈ 0.5~0.6；有源 PFC 0.98 以上
最大功率传输 $R_L = R_s$ 时 $P_L$ 最大、η = 50%；功率级反着来，$\eta = R_L/(R_s+R_L)$ 越大越好
三相 $U_{\text{line}} = \sqrt{3}\,U_{\text{phase}}$；$P = \sqrt{3}\,U_{\text{line}}\,I_{\text{line}}\cos\varphi$；对称杀 3 次谐波

10 自检问题

  1. 主力例改接到 $f_0 \approx 107.3\ \text{Hz}$：总阻抗是多少？若把 R 换成 1 Ω，同样的 230 V 源会灌进多大的电流？电感与电容上的分压又有多大？这说明串联谐振为什么又叫“电压谐振”。
  2. 主力例从 50 Hz 挪到 400 Hz（航空电网频率）：感抗、容抗各变成原来的几倍？电路转感性还是容性？
  3. 一台“24 V、5 A”的电源带 PF = 0.6 的容性整流负载：视在多少 VA、有功最多多少 W？若把 PF 抬到 0.99，同样 120 VA 能多送多少 W？
  4. “功率因数低费电”这句话错在哪？用电费、电缆、电网损耗三个词把正确说法重新组织一遍。
  5. 信号链做共轭匹配、功率级绝不匹配：用 $\eta = R_L/(R_s+R_L)$ 各解释一遍，并算出匹配时效率的精确值。
  6. 三相 400 V 线电压、平衡负载 10 kW、$\cos\varphi = 0.95$：每根相线电流多大？与单相 230 V 送同样功率相比，每根导线的负担差几倍？

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自检题答案见：自检题参考答案

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