数值说明：本文的代入数值为本库教学复算，用于说明计算过程与量级，不作为设计依据；引用的库内实例均标注出处（型号/文件号），通用公式标「教科书通识」。
第 03 讲 · 积分与微积分基本定理
本讲要解决什么问题
电源理论里有两条“平衡定律”，几乎出现在每一篇文档里：
- 伏秒平衡：电感电压在一个周期内的积分为零
- 电荷平衡：电容电流在一个周期内的积分为零
它们不是规定，而是积分的自然结果。本讲把这两条推出来——这是整个电力电子理论的起点，也是你工作后最容易“只知道结论、不知道来路”的地方。
1 积分是“累积”
1.1 从面积说起
$$\int_a^b f(x)\,dx$$
几何意义：曲线 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 区间下的有向面积（在 x 轴下方算负）。
物理意义：累积量。如果 $f(t)$ 是电流，积分就是电荷量；如果是功率，积分就是能量；如果是力，积分就是冲量。
| $f(t)$ 是 | $\int f\,dt$ 是 | 电源里的例子 |
|---|---|---|
| 电流 | 电荷（库仑） | 电容充了多少电 |
| 功率 | 能量（焦耳） | 一个开关周期消耗了多少能量 |
| 电压 | 伏秒 | 变压器磁通变化了多少 |
| 力 | 冲量 | — |
这张表就是本讲的全部价值：积分把“随时间变化的量”变成“累积的结果量”。
1.2 基本积分表
| 函数 | 原函数（积分结果） |
|---|---|
| $x^n$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ |
| $1/x$ | $\ln x + C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
注意 $e^x$ 与 $\frac{1}{e^x}$ 的不对称：$\int e^x dx = e^x$，但 $\int \dfrac{1}{e^x}dx = -e^{-x}$。充放电是后者，所以是衰减的指数曲线。
2 微积分基本定理（本讲的核心）
2.1 定理陈述
$$\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$$
读法：函数的变化量，等于它的导数的积分。
2.2 为什么重要
这条定理把“微分”和“积分”这两件看似无关的事连成了一体：一个是瞬时变化率，一个是累积量，而它们互为逆运算：
$$\frac{d}{dx}\text{ 与 }\int \ \text{互为逆}$$
工程意义：任何一个描述“变化率”的方程（微分方程），都可以积分成“总量守恒”的方程。这正是伏秒平衡与电荷平衡的来源。
2.3 变上限积分
$$F(t) = \int_{t_0}^{t} f(\tau)\,d\tau \quad\Rightarrow\quad \frac{dF}{dt} = f(t)$$
物理读法：$F(t)$ 是“到时刻 $t$ 为止累积了多少”，$f(t)$ 是“此刻的累积速率”。
3 从基本定理推出两条平衡定律
3.1 电荷平衡（电容）
从元件方程出发（第 02 讲）：
$$i_C = C\frac{dv_C}{dt}$$
两边对时间积分，再用基本定理：
$$\int_{t_1}^{t_2} i_C\,dt = C\int_{t_1}^{t_2}\frac{dv_C}{dt}\,dt = C\big[v_C(t_2) - v_C(t_1)\big]$$
左边：这段时间流过电容的电荷量。 右边：电容电压变化量乘以容值（电荷 = 电压 × 容值，这正是 $Q = CU$）。
在稳态的一个周期内：$v_C(t_2) = v_C(t_1)$（周期末状态回到周期初），于是：
$$\int_{t_1}^{t_2} i_C\,dt = 0$$
这就是电荷平衡：一个周期内流入电容的电荷总量与流出相等。
稳态成立的原因是：如果 $\int i_C dt \ne 0$，电压会不断累积上升或下降，电路就不可能进入稳态。
3.2 伏秒平衡（电感）
同样从 $v_L = L\dfrac{di_L}{dt}$ 出发：
$$\int_{t_1}^{t_2} v_L\,dt = L\big[i_L(t_2) - i_L(t_1)\big]$$
稳态周期内 $i_L(t_2)=i_L(t_1)$：
$$\int_{t_1}^{t_2} v_L\,dt = 0$$
这就是伏秒平衡：电感电压一周期积分为零（因为电感电流回到了原值）。
3.3 两条定律的物理图景
| 元件 | 状态量 | 平衡条件 | 一句话 |
|---|---|---|---|
| 电容 | 电压 | 电荷进出相等 | 电压不能一直升或一直降 |
| 电感 | 电流 | 电压有正有负 | 电流不能一直升或一直降 |
换一个说法：稳态电路里，电容的电压和电感的电流必须回到原值，所以馈入的与流出的必须配平。
4 积分在电源里的四种用法
4.1 用法一：由状态变化反推总量
$$Q_C = C\,\Delta v_C,\qquad \Phi = \int v_L\,dt = N\,A_e\,\Delta B$$
变压器匝数公式就是伏秒平衡的变形：把 $\int v_L dt$ 用 $N A_e \Delta B$ 表示，就得到 $N = \dfrac{V\cdot t}{A_e\Delta B}$。
推论：降低开关频率 → 同样的电压需要更长的导通时间 → 匝数可以减少（但磁芯体积不能减小，因为要保持 $\Delta B$）。
4.2 用法二：由总量反推斜率
$$v_C(t) = v_C(0) + \frac{1}{C}\int_0^t\big(i_C(\tau) - i_o(\tau)\big)\,d\tau$$
软启动设计就是这么算的：给定充电电流与负载电流，输出电压随时间的上升曲线由积分决定。
$$v_{out}(t) = v_{out}(0) + \frac{I - I_o}{C}\,t$$
这个式子的工程含义：
- 软启动斜率完全由充放电流差与容值决定，与 IC 无关；
- 若 $I = I_o$，输出电压不上升（软启动失败）；
- 缩短软启动时间的手段：加大 $I$ 或减小 $C$——但两者都有代价（前者增加应力，后者增加纹波）。
4.3 用法三：纹波是电流波形的积分
输出电容电压纹波：
$$\Delta v_{out} = \frac{1}{C}\int \Delta i_C(t)\,dt$$
纹波不是“算”出来的，是“积”出来的——它等于纹波电流曲线下的面积除以容值。
这条思路在选电容时非常有用：如果负载阶跃要求输出电压跌落不超过 $\Delta V$，则
$$\Delta i \cdot \Delta t \le C\,\Delta V$$
即“电流扰动 × 持续时间 ≤ 容值 × 允许跌落”。这是并联电容数量速算的依据。
4.4 用法四：面积守恒校核设计
任何一维量在稳态下都应自洽：
| 量 | 守恒式 | 校核什么 |
|---|---|---|
| 电感伏秒 | $\int v_L dt = 0$ | 匝数、占空比是否算对 |
| 电容电荷 | $\int i_C dt = 0$ | 电荷平衡（输出是否有净积累） |
| 磁件磁链 | $\int v dt = N A_e \Delta B$ | 磁通是否超限 |
这是样机调试后复核设计假设的最快手段：拿实测波形做面积积分，看结果是否与计算一致。不一致就说明模型漏了寄生参数。
5 积分的两种表述：定积分与不定积分
| 类型 | 写法 | 特点 |
|---|---|---|
| 定积分 | $\int_a^b f dx$ | 有上下限，结果是一个确定的数 |
| 不定积分 | $\int f dx = F(x) + C$ | 无上下限，结果是一族函数 |
工程计算一律用定积分（因为有上下限，结果确定）。不定积分只在推导中作为中间步骤。
一个常见错误：把定积分当不定积分用，写出 $Q = \dfrac{1}{C}\int i\,dt$ 却不给上下限。正确写法必须写清楚积分区间：
$$\text{错误}\quad \Delta V = \frac{1}{C}\int i_C\,dt \qquad \text{正确}\quad \Delta V = \frac{1}{C}\int_{t_1}^{t_2} i_C\,dt$$
6 常用积分技巧（够用就好）
| 技巧 | 说明 |
|---|---|
| 代换法 | 换元把复杂式子变成基本形式 |
| 分部积分 | $\int u\,dv = uv - \int v\,du$，用于“对数 × 有理式” |
| 三角代换 | 遇 $\sqrt{a^2-x^2}$ 类用 $x=a\sin\theta$ |
| 查表 + 数值 | 工程中最常用：能用基本公式就用，不能就用数值积分或查曲线 |
不要在工程计算里硬推复杂积分。手册有曲线就用曲线（插值），有仿真就用仿真。微积分的价值在于建立直觉和判断量级，不是做竞赛题。
7 本讲速查
| 记不住就查这张表 | 内容 |
|---|---|
| 积分的物理意义 | 累积：电流→电荷、功率→能量、电压→伏秒 |
| 基本定理 | $\int_a^b f' dx = f(b)-f(a)$；微分与积分互逆 |
| 电荷平衡 | $\oint i_C dt = 0$，来自 $i_C = C\dfrac{dv}{dt}$ 积分 |
| 伏秒平衡 | $\oint v_L dt = 0$，来自 $v_L = L\dfrac{di_L}{dt}$ 积分 |
| 软启动斜率 | $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{I-I_o}{C}$，与 IC 无关 |
| 纹波 | $\Delta v = \dfrac{1}{C}\int \Delta i_C dt$（面积除以容值） |
| 磁链 | $\int v\,dt = N A_e \Delta B$ → 匝数公式 |
| 写公式 | 定积分必须给上下限 |
8 自检问题
- 严格推导电荷平衡：从 $i = C\dfrac{dv}{dt}$ 出发，说明为什么稳态下一个周期内 $\int i dt = 0$。
- 为什么“稳态”这个假设如此重要？如果电路没有进入稳态，伏秒平衡还成立吗？
- 一个 220 µF 的输出电容，负载阶跃导致 3 A 持续 50 µs，电压跌落多少？如果跌落超过 0.5 V，应该怎么改？
- 软启动时充电电流 2 A、负载电流 1 A、输出电容 470 µF，输出电压上升速率是多少 V/ms？
- 为什么变压器匝数公式 $N = \dfrac{V t}{A_e\Delta B}$ 本质上是伏秒平衡？
- 写公式时把 $\Delta v = \dfrac{1}{C}\int i\,dt$ 改写成定积分形式，并说明上下限应该取什么。
与库内文档联动
- 上一讲：第 02 讲 · 导数与微分
- 下一讲：第 04 讲 · 级数与泰勒展开
- 深入：电力电子变换器理论、微积分通识
- 工程对照：反激变压器设计
上一级：01_数学
自检题答案见：自检题参考答案