开关电源知识库

微积分通识 —— 导数、积分、能量，用电源的话讲清楚

给“看到公式就畏难”的工程师。本篇不引入 ε-δ、不展开级数：只讲三件事——怎么变化（导数）、怎么积累（积分）、存了多少（能量），每一件都用电源里天天见的真实场景讲。读完后你不会变成数学高手，但你会知道 v = L·di/dt、伏秒平衡、$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$、$\frac{1}{2}CV^2$ 这些式子为什么长这样、算出来是什么意思。

读法建议：库内各实战文档（变压器设计、环路补偿、五拓扑对比）用到哪个概念，回本篇对应节补课；全篇共三条数字主线——24 W 反激主线（12 V/2 A、65 kHz、Lm=600 µH，见 开关电源基础概念 §2.5）、65 W QR 主线（Lp=180 µH、Ipk=3.44 A，见 NCP1342 03 篇）与 65 W 五拓扑对比（损耗/应力/RMS 数字，见 04_65W适配器五拓扑同规格对比）——§2 的三角波/梯形波 RMS 推导，就是对比篇 UC3842 复算链式 19 那张 I_RMS 表的公式来源。

数据规范（本类总纲）：教科书公式标「教科书通识」；所有代入例为本库教学复算并明示；工程近似逐处标注；推断标「待核实」并登记 01_待核实与推断总表；不引用具体厂商器件参数；严禁编造。

0 本篇速览：三个问题，三个词

电源工程师天天在解三个“隐形的数学题”，只是通常没人指出：

你天天遇到的现象 数学本质 本篇哪节
电感两端的电压、开关节点的 dv/dt、交越损耗 导数 = 变化的速率 §1
伏秒平衡、电荷平衡、输出电流的平均值、Irms 积分 = 累积的量 §2
启动时间、X2 放电、母线电容储能、谐振、集肤 指数/二阶/能量 = 时间的形态与存量 §3~§5
效率曲线的顶点、谷底开通的位置、死区取多长 极值 = 导数等于零的位置 §6

简述版：导数管“变多快”，积分管“积累了多少”，能量公式管“储能元件存了多少、能撑多久”，极值管“顶点/谷底在哪”。下面逐个展开。

1. 导数 = 变化的速率

1.1 类比：车速就是位置的导数

导航说“当前车速 120 km/h”——它没说你在哪，说的是你的位置每秒在变多少。“速度 = 位移的变化率”就是导数最日常的样子：$v = ds/dt$（s 是位置，t 是时间）。速度是“位移随时间怎么变”，加速度又是“速度随时间怎么变”——一层套一层，全是一个思想：看一个量，问它随另一个量“变多快”。

在电源里，最关键的两对“变化率”就是电流怎么变（di/dt） 和 电压怎么变（dv/dt）。

1.2 定义（教科书通识）

教科书通识：函数 $f(t)$ 在 $t$ 时刻的导数 $$ > \frac{df}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t} > $$ 通俗说：瞬间变化率 = 曲线上这一点的斜率。我们不用极限符号，记住“斜率”两个字就够了——直线上升的斜率是常数，上升越快斜率越大。

1.3 头号应用：v = L·di/dt，电感电压

教科书通识：电感两端的电压等于电感量乘电流的变化率 $$ > v_L = L\frac{di}{dt} > $$

为什么反激的初级电流是直线上升的：开关导通时，Lm 两端被接到固定电压 Vin，vL 固定 → 斜率 di/dt 固定 → 电流线性上升。这不只是定性，还能反推出整个 24 W 主线设计的自洽性（本库教学复算，对照 开关电源基础概念 §2.5）：

这个 ✓ 不是巧合，是设计的自洽性：先选了 Vin 和 Lm，斜率就被 di/dt = Vin/Lm 锁死；Ipk 和 ton 必须满足“斜率 × 时间 = 电流涨幅”（$1.11 = 0.5\times2.22$）。反过来用：想调斜率就调 Lm——这正是斜坡补偿里 m1、m2 斜率的来历（开关电源基础概念 §4.4），也是“Lm 越大电流越平缓、峰值越小”的数学出处。

关断侧同样验一遍：关断时 Lm 两端由反射电压 V_OR = 125 V 维持反压，斜率 = 125/600µ ≈ 0.208 A/µs，电流从 1.11 A 降到 0 需要 1.11/0.208 ≈ 5.33 µs = t_DEM ✓（主线退磁时间，再次自洽）。

1.4 对偶：i = C·dv/dt，电容电流

教科书通识：电容电流等于电容量乘电压的变化率 $$ > i_C = C\frac{dv}{dt} > $$ 与电感完全对偶：电感“抵抗电流突变”，电容“抵抗电压突变”。

实例一：死区内的开关节点 dv/dt（呼应 ZVS）。半桥/LLC 死区里，磁化电流给结电容换向，节点电压以 dv/dt = I_Lm/C_eq 摆动（口径见 开关电源基础概念 §5.5）。代入 I_Lm = 0.5 A、C_eq = 200 pF：

$$ \frac{dv}{dt} = \frac{0.5\ \text{A}}{200\ \text{pF}} = 2.5\ \text{kV/µs} $$

400 V 的母线电压摆程只要 400/2.5e9 ≈ 160 ns——这就是死区设计的量级直觉：死区太短，节点摆不到位，ZVS 失败。

实例二：GaN 的 dv/dt 能力（呼应 09 功率器件）。GaN 器件 dv/dt 能力在 100 V/ns 级（GaN README 口径），是普通 MOSFET 的几倍。dv/dt 大 → 共模噪声注入增强 → 所以高频快桥臂要靠 Y 电容、高 CMTI 隔离驱动保障（GaN 与隔离驱动基础）。dv/dt 是导数，而“导数大带来的麻烦”在电源里叫 EMI。

实例三：米勒平台的斜率 = 栅电流灌进 Cgd 的 dv/dt（呼应 20_基本元器件/03_功率器件/平面MOSFET）。MOSFET 开通的 vds 下落段（栅荷篇 Fig. 2 的 t3），栅压钳位在平台电压 Vgp 不动——按 KCL，全部栅电流只能灌进 Cgd 抽走漏极电荷，即 $i_G = C_{gd}\frac{dv_{DS}}{dt}$：

$$ \frac{dv_{DS}}{dt} = \frac{I_G}{C_{gd}} \quad\Rightarrow\quad t_3 = R_G\cdot\frac{Q_{GD}}{V_{DS(D)}}\cdot\frac{V_{DS}}{V_{GS}-V_{gp}}\quad(\text{栅荷篇 式 13/18}) $$

代入 SiRA04DP 算例（typ 列：QGD=4 nC、VGS=5 V、Vgp=2.6 V、RG=351.3 Ω，本库复算与栅荷篇表 2 的 tvf=469 ns 一致）：$I_G = (5-2.6)/351.3 = 6.8\ \text{mA}$；等效 $C_{gd} = Q_{GD}/V_{DS(D)} = 4\ \text{nC}/15\ \text{V} \approx 267\ \text{pF}$；$dv_{DS}/dt = 6.8\ \text{mA}/267\ \text{pF} \approx 25.6\ \text{V/\mu s}$ → 12 V 摆程 ≈ 469 ns ✓。工程含义：米勒平台长短 = dv/dt 快慢 = 栅电流大小 = $R_G$ 大小——§1.5 说“栅阻是 dI/dt 的旋钮”，这里是同简述的器件层证据：驱动回路就是一条 $i = C\,dv/dt$ 的电流核算，QGD/VDS 不过是“用积出来的电荷反写电容”（§2 再回头看这一步）。

1.5 dI/dt 的另一面：开关损耗交越与布局尖峰

开关管从“全开”到“全关”，电流以多大的 dI/dt 切换，决定两项相反方向的核算（呼应 20_基本元器件/03_功率器件/栅驱动IC）：

$$ v = L\frac{di}{dt} = 50\ \text{nH}\times\frac{10\ \text{A}}{20\ \text{ns}} = 25\ \text{V} $$

工程含义：dI/dt 是一把双刃剑——调快省开关损耗、调慢压 EMI 和尖峰。这就是驱动电阻（UCC2897A 03 篇 R_G 取 5~22 Ω，“兼调 dv/dt 与振铃”）存在的全部理由：用电阻当 dI/dt 的旋钮。

1.6 为什么工程上要懂

看懂“斜率”，你就看懂了三件事：① 电感电压/电流斜率是设计参数的自洽检验（§1.3 那种 ✓）；② dv/dt 决定 EMI 与隔离压力（§1.4）；③ dI/dt 是损耗与尖峰的折中（§1.5）。别人照着公式算，你知道公式在算什么。

2. 积分 = 累积的量

2.1 类比：里程是速度的积分

导航不仅知道你的实时车速，还能算出“距终点还有 86 km”——这是把每一刻的速度累加起来得到的。积分的日常样子就是“把一段段变化加起来”：$s = \int v\,dt$。积分是导数的逆运算：导数问“变多快”，积分问“一共变了多少”。

2.2 定义（教科书通识）

教科书通识：积分就是面积 $$ > \int_{t_1}^{t_2} f(t)\,dt = \lim_{\Delta t\to 0}\sum_i f(t_i)\,\Delta t > $$ 把曲线下的面积切成细条、全部加起来，就是积分。积分 = 曲线下的面积 = 累积的量。整篇记住这一条就够。

2.3 伏秒平衡：电感电压的积分在一个周期内必须为 0

这就是反激/Boost/Buck 稳态设计的总钥匙（教科书通识）：稳态下电感电压在一个开关周期内的积分必须为 0——否则磁化电流每周期净增加一点，最终磁芯饱和炸管：

$$ \int_0^T v_L\,dt = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad V_{in}\cdot t_{on} = V_{OR}\cdot t_{dem}\ \ (\text{反激}) $$

24 W 主线证明（本库教学复算，数值取自 开关电源基础概念 §2.5）：

工程含义：① 反激的占空比公式 $D = V_{OR}/(V_{in}+V_{OR})$ 就是伏秒平衡解出来的——不用背，会积三角形面积就能推；② 伏秒不平衡的现场现象是“变压器啸叫 + 管子越来越热”（磁芯向饱和发展），排查时先验伏秒。

2.4 电荷平衡：电容电流的积分也必须为 0

同一套思想给电容（教科书通识）：稳态下电容电流一个周期内的积分必须为 0——否则电容电压每周期漂一点，输出电压就跑偏：

$$ \int_0^T i_C\,dt = 0 $$

定量例子（NCP1680 启动电容，本库算例，见 NCP1680 03 篇）：NCP1680 无内部高压启动，VCC 靠外部偏置。要求 VCC 在 10 ms 内跌落 <1 V，控制器消耗电流约 4 mA。用“电荷 = 电流的积分”反推电容：

$$ \Delta V = \frac{\int i\,dt}{C} \quad\Rightarrow\quad C \ge \frac{I\cdot t}{\Delta V} = \frac{4\ \text{mA}\times 10\ \text{ms}}{1\ \text{V}} = 40\ \mu\text{F} \rightarrow \text{取 }47\ \mu\text{F} $$

工程含义：电容大小不是凭经验估计，而是“电荷核算”——电容储存电荷，容量够大、电压跌落才小。同一个式子还决定母线保持电容、输出滤波电容的量级（§5.2 再算一项大的）。

2.5 三角波面积 = 电荷：输出电流平均值从哪来

反激副边电流是三角波（峰值 11.1 A、脉宽 5.33 µs），它的平均值就是三角形面积除以周期（本库教学复算，口径见 开关电源基础概念 §2.5）：

$$ Q_{cycle} = \int i_S\,dt = \tfrac{1}{2}\times 11.1\ \text{A}\times 5.33\ \mu\text{s} = 29.6\ \mu\text{C} $$

$$ I_{avg} = \frac{Q_{cycle}}{T} = \frac{29.6\ \mu\text{C}}{15.4\ \mu\text{s}} \approx 1.92\ \text{A} \approx 2\ \text{A} = I_o\ ✓ $$

同一个“面积”思想还管着 RMS：RMS 是 $i^2$ 曲线面积的平方根——同步整流损耗 $I_{rms}^2\cdot R_{ds(on)}$ 就来自“三角波的 i² 面积”（开关电源基础概念 §6.1：三角波 $I_{rms}^2 = I_{pk}^2\cdot D_m/3$）。面积能算平均值，也能算损耗——这就是为什么“波形长什么样”在电源里是头等大事。

2.6 从电流波形算 RMS：三角波的 $I_{pk}\sqrt{D/3}$ 是积出来的（教科书通识 + 本库推导）

RMS（有效值，Root-Mean-Square）的定义本身就是三个动作——平方、平均、开根：

$$ I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T i^2(t)\,dt} $$

为什么用 $i^2$ 而不用 $i$：发热功率 $p = i^2 R$，导线/电阻不区分电流的正负、也不区分平均值，只看 $i^2$ 曲线下的面积——RMS 就是“与真实波形发热相同的直流电流”。

三角波推导（DCM 反激副边就是它）：导通期 $DT$ 内电流从 0 线性上升到 $I_{pk}$，$i(t) = I_{pk}\,t/(DT)$：

$$ I_{rms}^2 = \frac{1}{T}\int_0^{DT} I_{pk}^2\frac{t^2}{D^2T^2}\,\mathrm{d}t = \frac{I_{pk}^2}{D^2T^3}\cdot\frac{D^3T^3}{3} = I_{pk}^2\cdot\frac{D}{3} $$

这在库内=两项日常核算：

一条 RMS 是直流两倍的提醒：65 W 副边 RMS 6.4 A 而直流只有 3.25 A——DCM 三角波的 RMS 天然是直流的约 2 倍，这就是“次级铜要按 RMS 选、整流管按峰值+RMS 双口径选”的数学出处（变压器设计 §5.1 原话口径）。

2.7 梯形波：$I_{pk}\sqrt{\frac{D}{3}(1+k+k^2)}$——65 W 对比篇那张 RMS 表的出处（本库推导）

CCM 电流不从零起：导通期从谷值 $I_v$ 上升到 $I_{pk}$，波形是梯形。令 $k = I_v/I_{pk}$，$i(t) = I_v + (I_{pk}-I_v)\,t/(DT)$，展开平方逐项积分：

$$ I_{rms}^2 = \frac{1}{T}\int_0^{DT}\Big(I_v + (I_{pk}-I_v)\frac{t}{DT}\Big)^2 \mathrm{d}t = DT\cdot\frac{I_{pk}^2+I_{pk}I_v+I_v^2}{3}\cdot\frac{1}{T} = I_{pk}^2\,\frac{D}{3}\big(1+k+k^2\big) $$

这在库内=65W适配器五拓扑同规格对比 §3.2 UC3842 复算链第 9 步直接引用（DS 式 19 同口径）：$I_{pk}=1.83$ A、$k=0.81$、$D=0.615$ → $I_{rms} = 1.83\times\sqrt{0.615/3\times(1+0.81+0.656)} = 1.83\times 0.711 = 1.30$ A——对比篇表 3.7 里五家的 I_RMS 全部由这条式子按各自波形（三角/梯形）算出。两个极端帮你记：$k=0$ 退回三角波（DCM）；$k=1$（矩形）得 $I_{rms}=I_{pk}\sqrt{D}$——纹波越小波形越“方”，同峰值下 RMS 越低，这是 开关电源基础概念 §3.2 “CCM 瘦高变矮胖省 RMS”简述的定量版。

2.8 RMS 的平方律去哪了：电解电容纹波发热与寿命（呼应 20_基本元器件）

RMS 算出来不是终点，它带着平方律一路进温升、进寿命。Nichicon 电解电容全译 §2-9 的四层核算，每层都是一次积分/平方：

  1. 发热：$W = I_{AC}^2\times R_e$（式 2-8，$R_e$ 为 ESR）——纹波电流的 $i^2$ 面积 × 电阻，就是 RMS 定义的直接落地；
  2. 温升：$\Delta t = I_{AC}^2 R_e/(\beta A)$（式 2-10）——温升正比 $I_{rms}^2$，纹波翻倍，温升翻四倍；
  3. 波形合成的 RMS（式 2-17）：$I_n = \sqrt{(I_L/K_{fL})^2 + (I_H/K_{fH})^2}$——低频（100 Hz 充电包络）与高频（开关频率）分量各自除以频率系数再平方和开根。“不同频率分量按平方相加”不是经验，是 $\int i^2\mathrm{d}t$ 可按频段拆分的性质（帕塞瓦尔定理的工程版，教科书通识）；表 2-7 的“三角波 $I_{rms} = I_P\sqrt{T_1/3T}$”就是 §2.6 的 $I_{pk}\sqrt{D/3}$ 换了个记号（$D = T_1/T$）；
  4. 寿命：$\Delta t_n = t_0\times(I_n/I_m)^2$（式 2-18，105 ℃ 卡扣型 Δt₀ ≈ 5 ℃）——纹波降一半，温升降 3/4，寿命按修正曲线延长。

要点：波形 → RMS（积分）→ 温升（平方律）→ 寿命（指数加速）——一条从积分通到可靠性计算的完整链，这就是“输出电容按纹波电流选、不按容量选”的全部数学。

2.9 磁损的积分来源：磁滞回线面积 × 频率（呼应反激变压器设计）

教科书通识：磁芯每周期损耗 = 磁滞回线围成面积对磁芯体积的积分 $$ > W_{cycle} = V_e\oint H\,\mathrm{d}B \quad[\text{J}],\qquad P_v = W_{cycle}\cdot f > $$ 回线面积是“磁化去、退回来”多付出的损耗——零损耗材料的回线面积为零（积分=0）。

反激变压器设计 §6.2 用的 Steinmetz 幂律 $P_v = k f^{\alpha} B^{\beta}$（α≈1.5、β≈2.5 量级），是对“回线面积×频率”这个积分结果在工程区间的幂律拟合——β≈2.5 说明磁摆幅翻倍损耗涨约 6 倍，所以高频下 ΔB 由损耗预算反推（0.15~0.25 T），不是“离饱和还远”就随意取的。库内锚点：65 W 例高线 148 kHz、ΔB=0.15 T → 等效 $B_{pk}=\Delta B/2 = 0.075$ T → 磁损 ≈0.29 W，磁损最坏点在高线（频率 ×2.1 超过 ΔB×0.68 的缩小，变压器设计 §6.2 本库复算口径）。代入口径：三角波磁化的等效 B 用 ΔB/2 不用 ΔB——代错直接高估 $2^{\beta}\approx 5\sim6$ 倍（UCC28781 DS 的明确提示，变压器设计 §6.4 陷阱清单）。

2.10 为什么工程上要懂

积分是“把每周期的小量累成总量”：伏秒平衡定工作点、电荷平衡定电容、面积定平均值、$i^2$ 面积定 RMS 与发热、回线面积定磁损。所有稳态设计公式（占空比、匝比、峰值电流、电容、RMS、磁损）归根结底都是四五种“面积”——会积三角形和梯形的面积，就掌握了反激稳态与热设计全部公式的来源。

3. 指数函数与一阶响应：e^(−t/τ)

3.1 类比：咖啡凉得快慢

热咖啡放桌上，第一分钟凉得最快，越接近室温凉得越慢——降温速率正比于温差。这种“变化速率取决于离目标还有多远”的现象，数学上叫指数衰减，画出来是一条“先陡后平”的曲线。电源里的启动、放电、续流全是这个形状。

3.2 e^(−t/τ) 是什么（教科书通识）

教科书通识：RC 电路放电，电容电压随时间按指数衰减 $$ > v(t) = V_0\cdot e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC > $$ 充电则是 $v(t) = V_0(1-e^{-t/\tau})$。$\tau$（读 tau）叫时间常数，是这条曲线“自己的尺子”：过了 $1\tau$ 剩 37%，$2\tau$ 剩 13.5%，$3\tau$ 剩 5%，$5\tau$ 约 0.7%——工程上 5τ 就当“放完/充满”。

注意一个前提：指数衰减发生在“负载是线性电阻”的时候。恒定电压反向施加（反激退磁）、恒定电流抽取（电容恒流放电），衰减是线性的，不是指数——§3.3 会见到两种形态。

3.3 三个库内 RC 实例（慢→快看一遍）

实例一：X2 放电电阻（τ ≈ 0.6 s，安规红线）。拔插头后，跨在电网上的 X2 电容必须把电放掉防触电——IEC 60950/60335/62368 要求 1 秒内降到 60 V 以下（口径见 00_总览）。库内实例：X2 = 2.52 µF、初始 253 V、放电电阻取 240 kΩ：

$$ \tau = RC = 240\ \text{k}\Omega\times 2.52\ \mu\text{F} \approx 0.6\ \text{s} $$

$$ v(1\ \text{s}) = 253\times e^{-1/0.6} = 253\times 0.19 \approx 48\ \text{V} < 60\ \text{V}\ ✓\ (\text{本库教学复算}) $$

工程含义：电阻取大了 → τ 大 → 1 秒放不干净 → 安规不达标；取小了 → τ 小但常耗大（240 kΩ 接在 253 V 上约 0.27 W 持续耗散）→ 待机功耗超标。安规与待机之间的平衡点，就是 τ 的一道算术题。

实例二：NCP1680 启动/VCC 保持（τ ≈ 130 ms，启动节奏）。上节算的 47 µF 启动电容，用“等效电阻”看它的指数衰减：VCC ≈ 10.5 V、消耗 ≈ 4 mA → 等效负载电阻 $R_{eq} \approx 10.5/4\text{m} \approx 2.6\ \text{k}\Omega$，于是

$$ \tau = R_{eq}\cdot C \approx 2.6\ \text{k}\Omega\times 47\ \mu\text{F} \approx 120\sim130\ \text{ms} $$

对照启动时序：PFC 首脉冲最早出现在上电后约 40 ms（NCP1680 03 篇）——40 ms 和 130 ms 同量级，这就是“启动要等百毫秒级”的原因：电容大、电流小，时间常数无法更短。恒流充电形态是线性爬升（v = I·t/C），但“τ 管着节奏”的直觉一致。

实例三：光耦上拉 / FB 滤波（τ ≈ 20 µs，环路尺度）。反激控制器的 FB 脚内部常有上拉电阻——NCP1342 是 20 kΩ 上拉到 5 V（NCP1342 03 篇 口径）。若 FB 对地加 1 nF 滤波电容（量级假设）：

$$ \tau = 20\ \text{k}\Omega\times 1\ \text{nF} = 20\ \mu\text{s} $$

工程含义：这是环路里最“快”的时间常数——比开关周期（15.4 µs）长一点、比启动（百 ms）短四个量级。τ 的“尺子”跨度从 20 µs 到 0.6 s，全是同一个 e^(−t/τ)，只是用在不同的场合。

3.4 RL 一阶：电感电流的指数衰减

教科书通识：电感电流在电阻回路里自然衰减 $$ > i(t) = I_0\cdot e^{-t/\tau}, \qquad \tau = L/R > $$ 与 RC 完全同构，只是能量从“电场”换到“磁场”。

和反激退磁的关系：反激退磁接的是恒定反压 V_OR（不是电阻），所以电流是线性斜坡（§1.3 算过：−0.208 A/µs），不是指数——这是“恒压负载 vs 纯电阻负载”的区别。真正指数续流发生在电流走电阻回路的场合，比如：

空间版的指数：集肤深度 δ（教科书通识，微分方程来源）。指数衰减不只发生在时间轴上，也发生在空间轴上。交流磁场想钻进导体时，法拉第感应出的涡流反过来抵消它——把麦克斯韦方程与欧姆定律合并得到扩散方程 $\partial J/\partial t = \frac{\rho}{\mu_0}\frac{\partial^2 J}{\partial x^2}$（对时间一阶、对空间二阶）；代入正弦稳态 $J \propto e^{\mathrm{j}\omega t}$，解出电流密度沿深度指数衰减：

$$ J(x) = J_0\,e^{-x/\delta},\qquad \delta = \sqrt{\frac{\rho}{\pi f \mu_0}}\quad(\text{铜 }20\ ^\circ\mathrm{C}:\ \delta \approx 66/\sqrt{f}\ \text{mm},\ f\ \text{单位 Hz}) $$

这和 RC 放电的 $e^{-t/\tau}$ 是同一个数学家族：τ 管“多长时间才忘掉”，δ 管“多深的导体才用得上”——δ 就是电流密度掉到 37% 的深度，与 §3.2 的 1τ 剩 37% 完全对偶。数值（反激变压器设计 §4.3 本库推算）：δ(70 kHz)=0.25 mm、δ(100 kHz)=0.21 mm、δ(148 kHz)=0.17 mm → AN151 选线规则 $d \le 2\delta$ → 65 W 例初级 0.3 mm×5 股、次级 0.3 mm×20 股。工程含义：“线够粗就行”是错觉——0.8 mm 单线在 148 kHz 下只有表层 ~0.17 mm 的环在导电，AC 电阻是直流值的数倍；“粗”要粗在股数上，而股数是 δ 这个指数解算出来的。

3.5 τ 的量级直觉表（本库实例汇总）

实例 电阻 / 电感 电容 / 电流 τ 管什么
FB 滤波（光耦上拉） 20 kΩ 1 nF（假设） 20 µs 环路尺度
开关周期（24 W 主线） — — 15.4 µs 对照基准
NCP1680 VCC 保持 ≈2.6 kΩ 47 µF ≈130 ms 启动节奏
X2 放电 240 kΩ 2.52 µF ≈0.6 s 安规

3.6 为什么工程上要懂

看到 e^(−t/τ)，先估 τ 的量级，就知道这事是“微秒级”还是“秒级”：20 µs 量级由环路决定，130 ms 量级由启动决定，0.6 s 量级由安规决定。启动慢、放电慢、光耦上电慢，全是 τ 太大；环路响应慢、打嗝重启慢，也全是 τ 太大。τ 就是电源的“时间尺子”。

4. 二阶与谐振：f0 = 1/(2π√(LC))

4.1 类比：荡秋千

荡秋千时，能量在“动能（速度）”和“势能（高度）”之间来回倒。电感和电容正是能量倒换的器件：电流进电感变成磁场能，电压进电容变成电场能——一个 L 接一个 C，能量就在磁场/电场之间来回倒，振荡周期只由 L、C 决定。秋千的长短定节奏，LC 的大小定频率，谁也不听谁的（不靠外部强制）。

4.2 定义（教科书通识）

教科书通识：LC 电路的固有（谐振）频率 $$ > f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} > $$ 无阻尼时正弦振荡永不衰减；频率越高，L 或 C 越小（或两者都小）。

4.3 同一数学的三处库内应用

应用一：QR 谷底振铃（NCP1342 65 W，本库算例，见 NCP1342 03 篇）。反激退磁结束后，磁化电感 Lm 和开关管 Coss（+杂散，合计 C_par ≈ 1 nF）组成谐振腔，VDS 围绕母线振铃，谷底就在这个正弦的半个周期末：

$$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{Lm\cdot C_{par}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{180\ \mu\text{H}\times 1\ \text{nF}}} \approx 375\ \text{kHz} $$

$$ \text{半周期 } t_v = \pi\sqrt{LC} \approx 1.33\ \mu\text{s}\quad(\text{库内取 }1.5\ \mu\text{s}) $$

工程含义：t_v 决定“退磁完要等多久才掉进谷底”，QR 芯片就是踩这个节拍开的——t_v 进 Ipk 公式、进频率折返计算，全在 NCP1342 03 篇 里。谷底并非靠运气，是 L·C 算出来的。

应用二：LLC 谐振腔（HR1000A 90 W 实例，fr 为本库按式反推）。LLC 的谐振腔由 Lr、Cr（+Lm）组成，fr 是它的“效率最优点”，工作频率贴近 fr 运行（LLC 横评、AN151 设计指南口径）：

$$ f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_r\cdot C_r}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{100\ \mu\text{H}\times 26\ \text{nF}}} \approx 99\ \text{kHz} \approx 100\ \text{kHz} $$

工程含义：想要 fr 高，就得 L、C 小；想要效率高，又希望 Lm/Lr 大——f0 的公式就是 LLC 全部“最优点”取舍的起点（fr 处增益为 1、死区时长按它排，见 开关电源基础概念 §5.4）。

应用三：ACF 钳位电容振铃（UCC2897A 48 V 砖，本库复算，见 UCC2897A 03 篇）。钳位电容与磁化电感也构成一个 LC，UCC2897A 实例：Lm = 120 µH、C_CLAMP = 10 nF：

$$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{120\ \mu\text{H}\times 10\ \text{nF}}} \approx 145\ \text{kHz} $$

判据是“谐振周期必须比钳位窗口长”，钳位平台才平坦：半周期 = π√(LC) ≈ 3.4 µs，而钳位窗口 t_OFF ≈ 1.2 µs（250 kHz、D=70% 时）——半周期 > 窗口 ✓，平台基本不动。（源文“145 kHz < f_SW/2”与 f_SW=250 kHz 不一致，按“周期 vs 窗口”口径理解，标存疑。）

三处一处公式：QR 的谷底、LLC 的 fr、ACF 的钳位平台，全是 $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ 的同一道算术——谐振无处不在，因为电源本来就是在“开关 + 储能”之间摆荡。

4.4 阻尼：R 的作用

教科书通识：有电阻损耗时，振荡振幅按指数衰减 $$ > A(t) = A_0\cdot e^{-Rt/2L} > $$ R 越大衰减越快（过阻尼），R 为零则永远振下去。这条 e 的衰减规律就是 §3 的指数，只是它叠在正弦上。

工程含义是双面的：

阻尼量的直觉：R 小 → 衰减慢 → 振铃多但损耗小（QR 想要“少阻尼”以便多振几个谷）；R 大 → 衰减快但热多（RCD 想要“阻尼够压尖峰但发热不过大”）。加不加 R、加多大，就是给 LC 调整阻尼强度。

4.5 为什么工程上要懂

谐振并非无规律，它由 LC 的固有频率决定：看一个 LC 对，第一反应算 f0，就知道它该“振”还是该“平”——该振的（QR 谷底、LLC 腔）让它振够、不要乱加阻尼；该平的（ACF 钳位平台、开关节点尖峰）让 f0 远离工作频率或加阻尼抑制。§3 的 τ 管“多快”，§4 的 f0 管“以什么节奏振”——一个是尺子，一个是节拍器。

5. 能量与功率积分：½CV²、½LI²

5.1 类比：水池与水管

电容电感都是“能量池”：电容存电场能（水池的水位 = 电压），电感存磁场能（飞轮的转速 = 电流）。功率是“水管流量”（单位时间流进多少能量），能量是“池里存了多少”——能量 = 功率对时间的积分：

$$ E = \int P\,dt $$

教科书通识（两项最重要的储能）： $$ > E_C = \frac{1}{2}CV^2, \qquad E_L = \frac{1}{2}LI^2 > $$ 电压平方、电流平方——升压一倍的代价是储能涨四倍，这是所有高电压应力设计的数学根源。

5.2 ½CV²：母线电容储多少能（本库教学复算）

以 PFC 后级母线电容 400 V / 150 µF 为例：

$$ E = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\times 150\ \mu\text{F}\times 400^2 = 12\ \text{J} $$

12 焦耳能撑 65 W 的负载多久？$t = E/P = 12/65 \approx 185\ \text{ms}$——直觉上“不到 0.2 秒”。但注意：下游控制器有 UVLO（如按 330 V 算），低于它就不能工作，真正可用的是：

$$ E_{可用} = \frac{1}{2}C(V_1^2 - V_2^2) = \frac{1}{2}\times 150\ \mu\text{F}\times(400^2-330^2) \approx 3.8\ \text{J} $$

→ 65 W 下实际保持 ≈ 59 ms。这正对应保持时间公式 $C \ge 2Pt/(V_1^2-V_2^2)$（开关电源基础概念 §7.4）——母线电容不只是滤波，它是断电时的“电池”，而电池容量由 ½CV² 决定。这就是为什么 150 µF/400 V 电解体积那么大，以及为什么“电压翻倍储能翻四倍”让 PFC 母线必须做到 400 V。

5.3 ½LI²：电感储多少能，每周期送多少

反激是“每周期存一次、放一次”，存多少由 ½LI² 定。65 W QR 主线（Lp = 180 µH、Ipk = 3.44 A，本库教学复算，口径见 反激横评）：

$$ E_{cycle} = \frac{1}{2}LI_{pk}^2 = \frac{1}{2}\times 180\ \mu\text{H}\times 3.44^2 \approx 1.06\ \text{mJ} $$

$$ P_{in} = E_{cycle}\times f_{sw} \approx 1.06\ \text{mJ}\times 70\ \text{kHz} \approx 74\ \text{W}\quad(\text{65 W 输出，}\eta \approx 0.88,\ \checkmark) $$

24 W 主线同样验一遍：½×600 µ×1.11² ≈ 0.37 mJ × 65 kHz ≈ 24 W ✓（对照 开关电源基础概念 §2.5 的 E_cycle = 369 µJ）。

工程含义：把“传输功率”看成“每周期能量 × 频率”，就理解了反激设计的骨架——峰值电流定 Ipk（电流模式直接控制它），Lm 定每周期能存多少，频率定每秒存几次。三者相乘必须等于输入功率，谁与核算结果不符，设计就是错的。

5.4 功率的积分 = 能量：开关损耗的“交越面积”

开关损耗的本质是一个积分：功率 $p(t) = v(t)\cdot i(t)$，能量就是 v·i 乘积曲线下的面积（教科书通识）。开关管“全开”时 v≈0、“全关”时 i≈0，乘积都≈0；只有交越的几十纳秒里 v、i 同时非零——交越损耗就是这段 v·i 三角形的面积 × 每秒开关次数（口径见 开关电源基础概念 §5.1）：

$$ P_{cross} = \frac{1}{T}\int_{交越} v(t)i(t)\,dt = \frac{1}{2}V I (t_r+t_f) f_{sw} $$

代入 400 V / 2 A / 40 ns（tr+tf）/ 100 kHz：

$$ \text{单次交越能量} = \frac{1}{2}\times 400\times 2\times 40\ \text{ns} = 16\ \mu\text{J} $$

$$ P_{cross} = 16\ \mu\text{J}\times 100\ \text{kHz} = 1.6\ \text{W} $$

工程含义：① 单次 16 µJ 的“面积”看着小，乘以 10 万次/秒就是 1.6 W——积分就是“小量×高频”；② 为什么开关电源必须“避开中间态”——线性区（调压管）v·i 乘积永远巨大，开关态乘积≈0，这就是 开关电源基础概念 §1 那项 7 W vs 0.02 W 核算的数学本质；③ 软开关（ZVS/ZCS）就是让交越发生在 v≈0 或 i≈0 的时刻，把三角形面积削成零。

5.5 为什么工程上要懂

储能公式回答三个天天要问的问题：电容能否支撑（½CV²）、电感每周期输出是否足够（½LI²）、开关管发热多少（∫v·i dt）。这三个积分是热设计、保持时间、变压器体积全部估算的底层——会算 ½CV² 和 ½LI²，你就能在方案讨论时心算出“这个电容能撑多久、这个电感能送多少瓦”，不用等仿真。

6. 极值与最优化：导数为零的地方，就是设计的最优点

6.1 极值 = 导数变号的位置（教科书通识）

单峰函数的顶点/谷底有统一判据：一阶导数为零（$\mathrm{d}f/\mathrm{d}x = 0$），二阶导数定它是顶还是谷。电源里大量“最优/临界/最坏点”问题，最后都化成“解一个导数方程”——本节给三个库内实例：谷底（解析解）、死区（临界条件）、效率顶点（损耗结构）。

6.2 QR 的谷底：$t_v = \pi\sqrt{LC}$ 是“求导为零”的解

§4.3 的谷底振铃 $V_{DS}(t) \approx V_{bulk} + V_{OR}\,e^{-t/\tau}\cos(\omega_0 t)$——谷底在哪？对 t 求导并令其为零。阻尼小时 $\mathrm{d}V_{DS}/\mathrm{d}t \approx -V_{OR}\,\omega_0\sin(\omega_0 t) = 0$，第一谷在 $\omega_0 t = \pi$：

$$ t_v = \frac{\pi}{\omega_0} = \pi\sqrt{L_m C_{par}} = \pi\sqrt{180\ \mu\text{H}\times 1\ \text{nF}} \approx 1.33\ \mu\text{s}\quad(\text{库内取 } 1.5\ \mu\text{s}) $$

（取值口径：NCP1342 03 篇） $$ **芯片把“求导为零”做成了电路**：ZCD（零电流检测，Zero-Current-Detect）引脚经辅助绕组监测退磁电流过零，再等半个振铃周期在谷底开通——解析解（$\pi\sqrt{LC}$）管设计、实时检测（ZCD）管工况漂移，双保险（[开关电源基础概念 §5.3](../04_%E5%BC%80%E5%85%B3%E7%94%B5%E6%BA%90/01_%E5%BC%80%E5%85%B3%E7%94%B5%E6%BA%90%E5%9F%BA%E7%A1%80%E6%A6%82%E5%BF%B5.html)、NCP1342 VLO 谷 1~6 锁定）。谷 2、谷 3……就是极值点序列 $t = 3\pi/\omega_0$、$5\pi/\omega_0$——**QR 轻载跳谷，跳的是“第几个极值点”**。 ### 6.3 ZVS 死区取多长：一个带约束的极值问题 死区 $t_{dead}$ 是设计变量，代价函数在两端都增大：**太短** → 磁化电流来不及转移完节点电荷，ZVS 失败变硬开通（损耗陡增）；**太长** → 电流过冲反向、有效占空比减小。最优点在“恰好完成节点电压摆动”的临界处——电荷平衡（§2.4 的思想）： $$ I_{Lm}\cdot t_{dead} = 2,C_{eq}V_{bus}\quad\Rightarrow\quad t_{dead} \ge \frac{2\times 200\ \text{pF}\times 400\ \text{V}}{0.5\ \text{A}} = 320\ \text{ns} $$ （口径：[开关电源基础概念 §5.5](../04_%E5%BC%80%E5%85%B3%E7%94%B5%E6%BA%90/01_%E5%BC%80%E5%85%B3%E7%94%B5%E6%BA%90%E5%9F%BA%E7%A1%80%E6%A6%82%E5%BF%B5.html)） $$

这在库内=三代解法：HR1000A 用“固定死区”（教材式简化，HR1000A README）；UCC28781 用“自适应死区 + 上电自学习”（≈15 个周期锁定，把求极值变成实测迭代，65W对比篇 §3.4）；XDPS2201 用 ZVS 伺服逐周期闭环（SR 最小导通 <t_ZVSmin=600 ns 是直通红线，65W对比篇 §3.5）。临界条件随参数漂移：同架构把 Si 换 GaN，$C_{eq}$ 变小，UCC28781 的 tZ(MIN) 从 302 ns 改 167 ns——不重算，ZVS 窗口直接错失（65W对比篇 §7 误用 1）。极值点不是常数，是 $L$、$C$、$I$ 的函数。

6.4 效率曲线的顶点在哪：$P^* = \sqrt{c/a}$

效率 $\eta = P/(P + P_{loss})$，把损耗拆三档（分解口径见电路原理篇 §7）：

$$ P_{loss} = \underbrace{aP^2}_{\text{传导 }I^2R\text{（电流}\propto P\text{）}} + \underbrace{bP}_{\text{开关/整流（}\propto P\text{）}} + \underbrace{c}_{\text{固定（IC/驱动/启动残留）}} $$

令 $\mathrm{d}\eta/\mathrm{d}P = 0$（求导后分子只剩 $c - aP^2$）：

$$ P^* = \sqrt{\frac{c}{a}}\quad\Longleftrightarrow\quad a{P^*}^2 = c $$

——效率峰值在“平方项损耗 = 固定损耗”的负载点。

量级验算（本库教学推导，损耗模型为量级假设）：65 W QR 的 $I^2R$ 族（R_CS 0.38 W + 初级铜 ≈0.23 W + 次级铜 ≈0.25 W + SR ≈0.3 W 级，出处 NCP1342 03 篇、反激变压器设计 §6.1）合计 ≈1.1 W @满载 → $a \approx 2.6\times 10^{-4}$ /W；固定项 $c$ 取 0.2~0.4 W 量级 → $P^* = \sqrt{c/a} \approx 28\sim39$ W ≈ 43~60% 载——与“适配器效率峰值一般在半载到四分之三载”的业界经验一致。旁证（库内实测）：NCP1568 EVM 5 V 档满载 90.9% vs 20 V 档 93.5%（65W对比篇 §4.5）——固定损耗不随输出档位降低而降，低压档 $P^*$ 左移、峰值变矮：“PD 低压档效率差”不是器件性能不足，是 $c/a$ 的比值变了。

6.5 为什么工程上要懂

三个极值问题、三种解法：谷底是解析解（$\pi\sqrt{LC}$，芯片代算）；死区是临界条件（电荷平衡，器件换了要重算）；效率顶点是损耗结构（$aP^2 = c$，改拓扑=改 a、降待机=改 c）。最后一条守则：不是所有“最优”都是无约束极值——ΔB 由损耗定（反激变压器设计 §2.3）是约束下的可行点选择（磁损、饱和、窗口三项限制），硬套“求导为零”反而错。

精炼速查：一页纸微积分 → 电源对照表

概念 公式 电源场景 量级（本库实例）
导数·变化率 $v_L = L\frac{di}{dt}$ 电感电流斜率 → 反激初级电压自洽 0.5 A/µs → 600 µH → 300 V ✓
导数·变化率 $i_C = C\frac{dv}{dt}$ 死区内开关节点 dv/dt（ZVS 换向） 0.5 A/200 pF = 2.5 kV/µs
导数·尖峰 $v = L\frac{di}{dt}$ 布局寄生电感上的电压尖峰 50 nH×10 A/20 ns = 25 V
导数·损耗 $P = \frac{1}{2}VI(t_r+t_f)f_{sw}$ 交越损耗与 dI/dt 的折中 400 V/2 A/40 ns/100 kHz → 1.6 W
积分·伏秒平衡 $\int_0^T v_L\,dt = 0$ 反激/Boost/Buck 稳态工作点 300×2.22 = 125×5.33 = 666 V·µs ✓
积分·电荷平衡 $\int_0^T i_C\,dt = 0$ 电容大小（电压跌落预算） 4 mA×10 ms/1 V → 47 µF
积分·面积 $Q = \int i\,dt$ 三角波平均电流/RMS 29.6 µC/15.4 µs ≈ 1.92 A
指数·RC 放电 $v = V_0 e^{-t/RC}$ X2 安规放电（1 s 内 <60 V） τ≈0.6 s，1 s 后 48 V ✓
指数·RC 保持 $\tau = RC$ VCC 保持/启动节奏 τ≈130 ms，首脉冲 ≈40 ms
指数·RC 滤波 $\tau = RC$ 光耦上拉/FB 滤波 20 kΩ×1 nF = 20 µs
指数·RL 续流 $i = I_0 e^{-t/(L/R)}$ 电感电流经电阻衰减 反激退磁为线性（恒压）≠指数
二阶·谐振 $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ QR 谷底振铃 180 µH×1 nF → 375 kHz
二阶·谐振 同上 LLC 谐振腔 fr 100 µH×26 nF → ≈100 kHz
二阶·谐振 同上 ACF 钳位平台 120 µH×10 nF → ≈145 kHz
二阶·阻尼 $A = A_0 e^{-Rt/2L}$ 振铃收敛速度 vs 效率损耗 R 大收敛快但发热多
能量·电容 $E = \frac{1}{2}CV^2$ 母线储能 → 保持时间 150 µF/400 V → 12 J → 65 W 撑 185 ms
能量·电感 $E = \frac{1}{2}LI^2$ 每周期储能 → 输入功率 180 µH×3.44² → 1.06 mJ×70 k = 74 W
能量·积分 $E = \int v(t)i(t)\,dt$ 交越损耗的 v·i 面积 16 µJ/次 × 100 kHz = 1.6 W
积分·RMS $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int i^2dt}$ 三角波 RMS → SR 损耗/选线 11.1 A×√(0.346/3) = 3.8 A
积分·梯形 $I_{rms}=I_{pk}\sqrt{\frac{D}{3}(1{+}k{+}k^2)}$ 65 W 对比篇式 19 的出处 1.83 A、k=0.81 → 1.30 A
积分·热 $\Delta t_n = t_0 (I_n/I_m)^2$ 电解电容纹波→温升→寿命 纹波减半 → 温升降 3/4
积分·磁损 $P_v = f\oint H\,\mathrm{d}B \approx k f^{\alpha}B^{\beta}$ Steinmetz 的积分来源 ΔB/2 口径；高线 0.29 W
指数·空间 $\delta=\sqrt{\rho/(\pi f\mu_0)}$ 集肤深度=空间版 $e^{-x/\delta}$ 0.21 mm@100 kHz → 0.3 mm×多股
极值·谷底 $\mathrm{d}V_{DS}/\mathrm{d}t=0 \Rightarrow t_v=\pi\sqrt{LC}$ QR 谷底开通=极值点 1.33 µs（库内取 1.5 µs）
极值·死区 $I_{Lm}t_{dead}=2C_{eq}V_{bus}$ ZVS 死区临界条件 200 pF/400 V/0.5 A → 320 ns
极值·效率 $P^*=\sqrt{c/a}$ 效率峰值负载点 ≈43~60% 载（量级假设）

四行口诀：

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