数值说明：本文的代入数值为本库教学复算，用于说明计算过程与量级，不作为设计依据；引用的库内实例均标注出处（型号/文件号），通用公式标「教科书通识」。

理论专题一 · 状态空间平均法

伏秒平衡与电荷平衡告诉我们“稳态时各电压电流是多少”，但环路稳定性、负载阶跃响应、传递函数从哪里来？本篇给出系统层面的标准方法，并用 Buck 与反激各做一遍完整推导。

0 本篇速览

步骤	做什么	产出
选状态变量	能独立储存能量的量	$x(t)$
写两种状态方程	开关导通、关断各一组	$\dot{x}=Ax+Bu$
平均化	按占空比加权	$\dot{x}=(DA_{on}+(1-D)A_{off})x+\cdots$
求工作点	令 $\dot{x}=0$	稳态解
小信号化	工作点 + 扰动	一阶系统
求传递函数	解线性方程	$\tilde{y}(s)/\tilde{u}(s)$

1 为什么需要状态空间方法

伏秒平衡是积分约束，它给出一个标量方程；电荷平衡同理。两者合起来能定工作点，但：

回答不了“占空比扰动会怎样影响输出”；
回答不了“这个系统稳定吗”；
回答不了“负载阶跃的恢复过程是什么形状”。

状态空间法把变换器变成线性系统，上述问题都能用标准的控制理论回答。它的代价是：要写方程、要线性化。

2 状态变量的选择

选电容电压与电感电流——它们是能储存能量的量，其导数由代数约束决定。

Buck：$x = [i_L,\ v_C]^T$ Boost：$x = [i_L,\ v_C]^T$ 反激：两个绕组的电流是耦合的，通常取 $x = [i_{L1},\ v_C]^T$

原则：状态变量数 = 独立储能元件数。

3 Buck 的完整推导（CCM）

3.1 开关导通（状态 on）

二极管截止，$L$ 承受 $V_{in}-v_C$，$C$ 承受 $i_L$ 减去负载电流：

$$\frac{di_L}{dt} = \frac{V_{in}-v_C}{L},\qquad \frac{dv_C}{dt} = \frac{i_L}{C} - \frac{v_C}{RC}$$

3.2 开关关断（状态 off）

二极管导通，$L$ 承受 $-v_C$：

$$\frac{di_L}{dt} = -\frac{v_C}{L},\qquad \frac{dv_C}{dt} = \frac{i_L}{C} - \frac{v_C}{RC}$$

3.3 平均化

$$\frac{di_L}{dt} = D\cdot\frac{V_{in}-v_C}{L} + (1-D)\cdot\left(-\frac{v_C}{L}\right) = \frac{D\,V_{in} - v_C}{L}$$

$$\frac{dv_C}{dt} = \frac{i_L}{C} - \frac{v_C}{RC}$$

这一步的物理含义：电路在两个状态间来回切换，而电感电流与电容电压在一个周期内变化很小（正是这个“小纹波假设”让平均化成立）。所以可以用占空比加权代替瞬时开关。

3.4 工作点（令导数为零）

$$0 = \frac{D V_{in} - v_C}{L} \ \Rightarrow\ V_o = D V_{in}$$

$$0 = \frac{i_L}{C} - \frac{v_C}{RC}\ \Rightarrow\ I_L = \frac{V_o}{R}$$

第一式就是伏秒平衡，第二式就是电荷平衡——它们是平均化方程的特例。

3.5 小信号化

令 $D = \bar{D} + \tilde{d}$、$v_C = \bar{V}_o + \tilde{v}$、$i_L = \bar{I}_L + \tilde{i}$、$V_{in} = \bar{V}_{in} + \tilde{v}_{in}$，代入平均方程保留一阶项：

$$L\frac{d\tilde{i}}{dt} = \bar{V}_{in}\,\tilde{d} + \tilde{v}_{in} - \tilde{v}$$

$$C\frac{d\tilde{v}}{dt} = \tilde{i} - \frac{\tilde{v}}{R}$$

3.6 传递函数

令输入为占空比扰动（$\tilde{v}_{in}=0$），解出 $\tilde{v}(s)/\tilde{d}(s)$：

$$\frac{\tilde{v}(s)}{\tilde{d}(s)} = \frac{\bar{V}_{in}}{LCs^2 + \frac{L}{R}s + 1}$$

分母就是 LC 双极点，与阻抗法得到的 $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ 完全一致——两条路得到同一结论，互相印证。

分母的阻尼项 $L/R$ 来自负载，再次印证数学专题五的判断：Buck 输出级的阻尼主要由负载决定，而非电容 ESR。

4 反激的推导要点（CCM）

反激有两个状态，且耦合电感使次级与初级相关。

4.1 开关导通

次级二极管截止（因 $nL_2$ 上电压为负），只有 $L_p$ 参与：

$$\frac{di_{L1}}{dt} = \frac{V_{in}}{L_p},\qquad \frac{dv_C}{dt} = -\frac{v_C}{R_o C_o}$$

4.2 开关关断

次级二极管导通，匝比 $n = N_p/N_s$ 把输出折算到原边：

$$\frac{di_{L1}}{dt} = -\frac{v_C/n}{L_p},\qquad \frac{dv_C}{dt} = \frac{n\,i_{L1}}{C_o} - \frac{v_C}{R_oC_o}$$

（输出电流 $I_o = n\cdot i_{L1}$ 在退磁期成立，折算关系来自匝比。）

4.3 平均化与工作点

$$\frac{di_{L1}}{dt} = \frac{D V_{in} - (1-D)\frac{v_C}{n}}{L_p}$$

工作点条件给出：

$$D V_{in} = (1-D)\frac{V_o}{n}\ \Rightarrow\ V_o = \frac{nD}{1-D}V_{in}$$

注意 $1-D$ 而非 $D$——这是反激与 Buck 的关键区别，也是为什么反激的占空比不能超过 1。

输出电导：由 $I_o = n\,i_{L1}$ 可得等效负载电阻的折算，这正是 RHP 零点公式 $f_{r} = \dfrac{R_o(1-D)^2}{2\pi n^2L_p D}$ 的来源——输出侧电流是折算过去的，导致功率级的动态行为中出现右半平面零点。

5 平均化的适用条件

平均化成立的前提是开关频率远高于状态变量变化率，即：

条件	定量表述	不满足时
小纹波	电流纹波 $\ll$ 平均电流	大纹波或 DCM 时失效
高频	$f_{sw} \gg$ 状态变量带宽	补偿网络频率接近 $f_{sw}$ 时失效
准静态	占空比在一个周期内不变	数字控制若一个周期只更新一次需重新核算

DCM 必须单独建模：这时电感电流在周期内到零，平均化方程的形式会变，不能沿用 CCM 推导结果。

6 从状态空间到控制

拿到 $\tilde{y}(s)/\tilde{u}(s)$ 后，控制设计就是标准流程：

1. 功率级模型 Gvd(s)（本节推导得到）
2. 反馈网络 H(s)（分压 + 补偿）
3. 开环 L(s) = Gvd(s)·H(s)
4. 判稳：相位裕量 ≥45°、增益裕度 ≥10 dB
5. 不满足则改补偿器拓扑

这就是数学专题三的 S 起点。补偿元件怎么对应零极点，见该篇 §3。

7 速查

记不住就查这张表	内容
状态变量	电容电压 + 电感电流
两个状态方程	开关 on / off 各一组
平均化	$L = D A_{on} + (1-D) A_{off}$
工作点	令 $\dot{x}=0$；伏秒/电荷平衡是其特例
Buck 传递函数	$\bar{V}_{in}/\left(LCs^2+\frac{L}{R}s+1\right)$
反激工作点	$V_o = \dfrac{nD}{1-D}V_{in}$
阻尼来自哪	Buck 来自负载 $R$（不是电容 ESR）
平均化何时失效	大纹波、DCM、频率接近开关频率
CCM → DCM	需重新建模，不能沿用

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数学专题六傅里叶变换与拉普拉斯变换第 04 讲级数与泰勒展开控制理论 · 基础理论