Würth Elektronik ANP114《铁电 Class 2 MLCC 的电压与频率依赖性》全文精译 — DC-bias 容量跌落的极化模型与 LTspice 建模

原文：Würth Elektronik eiSos 应用笔记 ANP114a，版本日期 2024/12/02，《Voltage and Frequency Dependence of Ferroelectric Class 2 Multilayer Ceramic Capacitors》，作者 Dr. René Kalbitz，共 12 页。原文 PDF：90_资料源/电容_MLCC_Wuerth_ANP114.pdf。 本篇为全文忠实精译：覆盖原文全部 7 章 + 附录——01 动机与背景、02 电容-电压测量的解读（Branch 1/2/3 迟滞）、03 铁电极化的数学模型（式 1~5、图 3/4 拟合参数全录）、04 实验细节、05 初始极化态与测量条件、06 频率与电压依赖模型（式 6/7、表 1 全录、图 5/6）、07 结论、致谢、附录 A.1 替代数学模型（式 8~25、表 2 十九行拟合结果全录）、A.2 参考文献 23 条。 重要：原文式 (3)(4)(25) 为多行嵌入公式，pdftotext 乱排；译稿逐式对照原 PDF（第 4、9 页）转录核验。原文第 5 页存在一处自身交叉引用失效（“Equation Error! Reference source not found.”），照录并加译注。

本篇与库内文档的关系

Class 2 MLCC（X5R/X7R）标称容量是“零偏压、零老化”的值——实际母线偏压下容量可能只剩一半，这是轻载纹波变大、控制环路相位裕量漂移的常见根源。本篇式 (5)+(3) 的 sech² 模型给出从 C-V 实测曲线提取参数、再到 LTspice 电荷方程（式 6/25）的完整链路；库内 NCP1568 EVM 精译 BOM 中的 TDK C3225X7T2W224K200AA（0.22 µF/450 V X7T 母线薄膜位用 MLCC）与 C1608X7R1H104K080AA 等的去耦容量都应按本篇方法做 DC-bias 降额核对。

译注约定（先读）

1. 原文 sech = 双曲正割，sech² 即其平方；arsech = 反双曲正割。
2. 原文缺陷照录加译注：式 (21)/(23) 中 sech 的上标 c 在原 PDF 中显示为空框（字体缺字）；式 (25) 与式 (3) 的宗量存在内部不一致（详见正文译注）。
3. 图逐图标“见原 PDF 图 N（第 X 页）”。

01. 动机与背景（原 PDF 第 1~2 页）

设计导入流程中，用 Spice 类仿真软件已成常规。开发者可把 MLCC 的模型文件载入软件，仿真 MLCC 电压/频率行为对电路的影响。要让仿真计算高效，就需要为 MLCC 实现优雅的模型。本笔记先简述 Class 2 MLCC 容量随电压变化的物理背景，再给出适合仿真软件实现的数学极化模型。

陶瓷能表现的一种重要介电特性是铁电性（ferroelectricity）：材料在不加电场的情况下自发形成电偶极子。铁电性只出现在单胞**无对称中心（non-centrosymmetric）**的晶体中 [1][2][3][4][5]。

铁电材料中，所有直接与间接相邻单胞形成的偶极子指向同一方向——这是偶极-偶极相互作用降低总能量所致。铁电体趋于达到使总能量最小、同时满足静电与力学边界条件的畴（domain）构型 [6]。理想体系中所有偶极子集体同向；真实材料总有缺陷，使偶极子的集体取向局限于畴内。畴的尺寸、畴界处的晶体构型、畴内偶极子取向都影响极化率，从而影响材料介电常数 [7][8]——这就是不同原料生产的 MLCC 铁电行为不同的原因 [1][9][10]。

高于每种铁电材料各自的居里温度后，集体取向被破坏：偶极子随机取向、不再有畴结构，材料呈顺电性（paraelectric）[11]。铁电材料总在一定程度上表现顺电行为；化学添加剂引入缺陷位、阻止畴形成，也能诱导顺电性。

制作 MLCC 的具有非中心对称结构的化合物是钛酸钡（barium titanate）。见原 PDF 图 1（第 2 页）：居里温度以下钛酸钡单胞构型——带正电的钛离子沿（图中）向上方向偏离中心，单胞“顶面”略带正电、“底面”略带负电。永久电偶极子与外加场相互作用，此类材料的极化率（从而介电常数）与电压相关 [7][12]。

与其他材料相比，钛酸钡类铁电体极化率高、相对介电常数高。钛酸钡基 MLCC 兼顾低损耗、高容量与小尺寸——这使 MLCC 成为开关变换电路与滤波应用中最重要的无源器件之一 [10]。代价：铁电 Class 2 MLCC 大容量的交换条件正是上述电压依赖性——直流电压升高容量不利地下降。下文先解释极化过程，再建立描述电压依赖容量的模型。

02. 电容-电压测量的解读（原 PDF 第 2~3 页）

铁电极化已被充分研究，此处简述 [1][9][13]。极化行为取决于当前极化状态——用 10 µF Class 2 MLCC 的 C-V 与 P-V 曲线说明（见原 PDF 图 2（第 2 页）：上——10 µF MLCC 在一个电压循环（插图）下的实测 C-V 特性；下——P-V 特性及偶极子取向示意）。测量中施加频率 f 的正弦探测波形测容量：探测信号幅度在整个测量中固定，引起周期性电压变化 dV；正弦信号上叠加直流电压，使畴极化得以重新取向。

分支 1（Branch 1）：电容初始畴极化随机取向，受测试信号作用。直流电压升高后偶极子逐渐取向一致，极化增大；所有偶极子理想地指向外场方向时达到饱和极化。电压升高、偶极子取向排列后其活动越来越受限——电荷变化 dq 减小，故 C = dq/dV 随直流电压升高而下降。当外场（正比于电压）已使多数畴取向后，即使撤去外场偶极子也保持在位——集体取向产生一个内部稳定的矫顽场 Ec。外场继续增大时，极化还因电子型、离子型、偶极型等其他极化效应继续增大。最大电压处的极化称饱和极化 Psat；原则上自发极化 Ps 等于电位移外推到零场强的饱和极化。

分支 2（Branch 2）：电压（外场）从正翻转到负时，偶极子稍作弛豫，但因内部矫顽场 Ec 仍保持整体极化方向。零伏处的极化态称剩余极化 Pr。任何反向电场都必须超过 Ec 才能把所有畴反向重排。在 Ec 位置处偶极子受到的束缚最小——材料介电常数（磁化率）最大，容量出现局部极大（峰）。反向极化继续增大后，容量下降到与正电压时相同的值。

分支 3（Branch 3）：电压从负到正时偶极子在超过矫顽场后再次重排，正电压处同样出现容量峰。分支 3 与分支 2 类似，只是沿 x 轴向正电压方向平移。

上述迟滞要求区分“正→负扫描”与“负→正扫描”的极化：下文 P+(E) 表示正→负扫描（分支 2）的极化，P−(E) 表示负→正扫描（分支 3）的极化。

因此直流电压升高容量必降。而且容量还会随直流电压施加时间进一步下降——这与畴壁钉扎（domain wall pinning）引起的畴壁迟滞运动有关 [14][15][16][17]：畴壁运动的时间尺度比偶极子初次重排（亚秒级）长得多 [19]；畴壁运动一般造成最多约 20% 的额外渐进容量下降，可持续长达 1000 小时 [14][15]。此长期效应此处仅提及，以示完整性并提示其复杂性。此外，某些原生态（pristine）钛酸钡化合物上可能发生场致相变 [20][21]：单胞经历结构变化、形成永久偶极子。这类相变会在**第一次扫描（分支 1）**的 C-V 测量中产生一个峰，与分支 2/3 偶极子重排的峰相似——峰的来源不是偶极子重排而是至少部分材料的单胞重构。本篇测量中未见此行为，其他样品上可能出现。（原文另注：除畴壁运动外，测量还可呈现交流依赖性；为清晰起见本笔记聚焦直流依赖。）

03. 铁电极化的数学模型（原 PDF 第 3~4 页）

本节给出 C-V 测量的半唯象（semi-phenomenological）极化模型；数学细节见第 8 节（附录）[13]。模型参数与可测量、有物理意义的量（剩余极化、自发极化）关联。基于理想极化行为的模型 [13]：

$$C(V) = (a - C_s)\,\mathrm{sech}^2\!\left(\frac{V - V_C}{b}\right) + C_s \qquad \text{（式 1）}$$

其中 Cs 为容量的线性贡献（与电压无关的纯电容部分）；VC 为矫顽电压（VC ∝ Ec）；a 为正比于饱和极化的系数；b 为钟形曲线宽度的相关系数。如第 8 节所论，此模型基于完全极化、均匀电场、均匀材料成分等理想假设。优点：a、b、Cs、VC 可直接从实测数据读出，无需拟合——Cs 是最大电压处的容量，(a−Cs) 是峰高（C(V) 最大值），VC 是峰位置，b 可用反双曲正割从 C(V) 算出（见第 8 节）。Miller 等发表的极化模型 [13] 是否基于第一性原理此处无关紧要，重要的是数值上的简洁：参数集小、且可直接从测量读出。

图 3 为 10 µF Class 2 MLCC 连续电压扫描的 C-V 实测与式 (1) 拟合。数值拟合参数：a = 10.85，b = 7.5，Cs = 1.09，VC = 2.5。拟合虽不完美，但 −10 V~+10 V 之间的特征描述良好。正负两支的可见峰出现在外场达到矫顽场强度、引起偶极子反转的时刻——此时偶极子迁移率大、电荷变化大，故容量在该位置有局部极大 [1]。（见原 PDF 图 3（第 4 页）：10 µF MLCC 实测 C-V 特性与式 (1) 拟合，横轴 −40~+40 V、纵轴 0~12 µF。）

把式 (1) 用于商用 MLCC（图 3）时整体行为能建模；但电压超过 |±10 V| 后实测容量比模型计算值大。原因可能是 MLCC 叉指电极几何引起的电场不均匀、材料成分不均匀、以及畴壁钉扎/开关引起的迟滞开关行为 [14,15]——MLCC 由呈现不同电压行为（铁电行为）的材料“分数”组成。理论上可以把这类 MLCC 建模为式 (1) 的叠加：

$$C_P = \sum_i a_i\, \mathrm{sech}^2\!\left(\frac{V - V_{Ci}}{b_i}\right) \qquad \text{（式 2）}$$

其中每种材料分数 i 用参数组 ai、VCi、bi 表示。式 (2) 物理上成立，但使拟合繁琐、对庞大的 MLCC 产品线不实用；而且把这个函数写进仿真文件并在仿真软件里执行也很耗时。实践中，对大多数测量的建模，三个加项就足够：

$$C_P = \left(\frac{a^*}{a_0}\right)\left[\ \mathrm{sech}^2\!\left(10\,\frac{V - V_C}{7 \cdot b}\right) + \frac{b}{30}\,\mathrm{sech}^2\!\left(\frac{V - \dfrac{V_{max}}{8} + V_c}{2 \cdot b}\right) + \frac{b}{30}\,\mathrm{sech}^2\!\left(\frac{V + \dfrac{V_{max}}{8} - V_c}{2 \cdot b}\right)\right] - C_s \cdot \frac{h}{10} \qquad \text{（式 3）}$$

$$a_0 = 1 + 2\,\frac{b}{30}\,\mathrm{sech}^2\!\left(\frac{\dfrac{V_{max}}{8}}{2 \cdot b}\right) \qquad \text{（式 4）}$$

其中 Vmax 为扫描施加的最大电压；h 为 Cs 的非饱和修正因子；a* = Cs·(h/10 − 1) + a 为有效峰高；a₀（式 4）为归一化因子，修正三个加项带来的附加偏置。于是 CP 由一个主贡献（第一个 sech² 项）与两个更宽的次级贡献（第二、三个 sech² 项）构成，次级项位于主项左右固定距离处（图 4 以分支 3 为例展示）；偏置 −Cs·h/10 修正纯电容贡献。由于多数情况下电压不足以完成完全极化，引入因子 h/10 计及非饱和偶极子贡献。电压移位、次级贡献宽度与高度的具体参数选择经证实对一系列测量结果良好；必要时这些因子也可另行调整。

为证明式 (3) 模型的实用性，第 8 节表 2 给出一组拟合结果：拟合的均方根相对误差（RMSRE）约 1% 或更低，远低于 10% 的容量生产公差。式 (3) 的好处是把拟合参数缩减到 b 与 h 两个，其余参数可直接从 C-V 测量推断：Vmax 是扫描最大电压，Cs = C(Vmax)；a 与 Vc 分别是局部极大值及其位置。对于经过预热处理、little 或无自发极化的原生态样品，可设 Vc = 0。

见原 PDF 图 4（第 5 页）：10 µF MLCC 实测 C-V 特性与式 (5) 拟合及其各贡献分量（Total Sum / Main Contribution / Secondary Contribution (right) / (left) / Measured, 10 µF (885012209073)）。无量纲数值拟合参数：a = 10.85，b = 7.3，Vmax = 40，Cs = 1.09，VC = 2.45，h = 0.01。

$C(V) = C_P + C_s$（式 5）。“Equation Error! Reference source not found.”〔译注：原文此处交叉引用失效，按上下文指式 (5)〕可用于拟合大批 MLCC 产品的容压行为；第 8 节表 2 列出选定 MLCC 的拟合参数与均方根相对误差。（原文另注：第 8 节还给出一个等价的更简化 C(V) 数学方法，为清晰起见不纳入正文讨论。）

LTspice 实现：LTspice 等仿真软件的数学模型实现要求以极化（即电荷）为函数（见第 8 节）：$\Delta q = \displaystyle\int C(V)\, dV$（式 6）。sech² 函数的积分给出 tanh 函数——多数脚本语言可用，因此把拟合好的式 (5) 装入仿真软件是直接的。

04. 实验细节（原 PDF 第 5 页）

测量前所有电容先在 150 ℃ 退火至少 1 h，随后冷却时间 24 h。全部测量在室温进行。C-f 测量：Keysight 阻抗分析仪 E4990A + 测试夹具 16034E；叠加在直流电压上的交流探测电压幅度 Vrms = 0.250 V；频率扫描期间直流参数电压的预处理时间 20 h。迟滞与时间依赖测量：Keysight LCR 表 E4980A + 测试夹具 16034G；交流探测电压幅度 Vrms = 1 V，探测频率 1 kHz。

05. 实现：初始极化态与测量条件（原 PDF 第 5 页）

除测量时间外，还须定义初始极化态：容量的电压依赖取决于初始极化态，而应用场合中它是未知的。运行数据采集的拟合数据取自经居里温度以上预热的原生态（pristine）MLCC 批次——因此式 (5) 模型中电压移位取 VC = 0。钛酸钡复合材料的初始态不易定义：视成分不同，有的会表现场致相变（第 2 节），退火后第一次扫描的 C-V 特性就会出现峰。此外，畴壁运动可能使 C-V 特性随扫描速度略有变化——实践中这是难以控制的现象。因此同型号的两只 MLCC 的 C-V 扫描会因测量条件及化学/结构成分的细微差异而彼此偏离。

06. 实现：频率与电压依赖模型（原 PDF 第 6~7 页）

前几节主要讨论模型的电压依赖；对滤波器、变换器等应用，模型还必须正确描述频率行为。电容阻抗通常建模为：

$$Z(\omega, V) = R_{ESR} + \left( i \cdot \omega \cdot C(V) + R_{ins}^{-1} \right)^{-1} + i \cdot \omega \cdot L \qquad \text{（式 7）}$$

（ω = 2πf 为角频率；i = √(−1) 为虚数单位；RESR 为等效串联电阻；Rins 为绝缘电阻；L 为寄生电感；C(V) 为式 (5) 给出的电压依赖容量。）每个电容由此由一组独立参数建模：a、b、h、Cs、Vmax、RESR、Rins、L。阻抗模型 Z(ω,V)（式 7）假设 Cs 与 CP 的频率行为相同——现实中未必。迟滞行为取决于直流电压的扫描频率（电压上升时间）[19]；这意味着当交流电压约小于矫顽电压 Vc 时模型最准确。据此估计：交流电压幅度低于额定电压的 10% 时模型准确。

见原 PDF 图 5（第 6 页）：不同直流电压下实测与计算阻抗谱（插图：对应 C-V 函数）。见原 PDF 图 6（第 6 页）：不同直流电压下实测与计算容量谱。

图 5/图 6 显示计算曲线与不同电压下实测阻抗谱/容量谱吻合良好。谱在 40 h 预处理后采集，以包含畴壁开关的效应。图 5 插图中的 C-V 函数由表 1 参数得到。表 1：拟合参数（用于图 5/图 6 曲线的单位）（全录）：

本例中理论谱与实测谱的偏差由容量模型在中间值处的轻微缺陷造成。考虑到长期直流效应精确测量的困难，评估其精度对实际应用是满意的。施加直流电压的测量谱在略低于 10⁶ Hz 处的小尖峰（噪声）成因未能明确认定——它们在不同谱中大致出现在同一频段，可能提示与装置相关的测量伪影。由于温度、畴壁开关动力学、电压老化、原料成分细微差异等对铁电性的影响众多，C-V 特性的精确建模是挑战。正因复杂，电气工程师仍须用基于应用的测试与测量来补充模型数据。

07. 结论（原 PDF 第 7 页）

在铁电性简述之后，基于 Miller 的铁电极化理论 [13] 建立了半唯象模型。式 (3) 模型把拟合参数缩减到 b 与 h；其余参数 a、Cs、Vmax、Vc 可直接从 C-V 测量读出（原生态预热样品可设 Vc = 0）。以 10 µF Class 2 MLCC 为例，模型对 C-V 行为及相应谱给出定性上满意的描述。模型基于两个主要假设：MLCC 处于随机极化态（即预先经居里温度以上退火）、且所受交流电压约为额定电压的 10%。总体而言，计算谱与实测谱吻合良好。致谢：感谢 Würth Elektronik 技术专家 Eric Fischer 与 Jon Izkue-Rodriguez 提供测量与技术支持。

附录 A.1 替代数学模型（原 PDF 第 8~9 页）

替代方案：改进式 $C_P \cong a \cdot \mathrm{sech}^{\,c}\!\left(\dfrac{V - V_C}{b}\right)$（式 8）允许用指数 c 改变斜率梯度。c 虽不直接对应物理量，但其引入显著简化模型。实测容量可拟合为：

$$C(V) = (a - C_s) \cdot \mathrm{sech}^{\,c}\!\left(\frac{V - V_C}{b}\right) + C_s \qquad \text{（式 9）}$$

用这组五参数 a、b、c、VC、Cs 即可以足够精度建模实测电压依赖容量（图 7 证明）。式 (9) 第一项 CP = (a−Cs)·sech^c((V−VC)/b) 建模极化对容量的电压依赖贡献，Cs 为与电压无关的纯电容部分。（见原 PDF 图 7（第 8 页）：10 µF MLCC 实测 C-V 特性与式 (9) 拟合。无量纲数值拟合参数：a = 10.85，b = 1.3，c = 0.17，Cs = 1.09，VC = 2.5。）

式 (9) 的数值积分与符号积分虽然总是可行，但符号积分可能涉及超几何函数——仿真软件可能不支持。c = 1 与 c = 2 时可以避免：

c = 1 例：$C = (a - C_s)\cdot\mathrm{sech}\!\left(\dfrac{V}{b}\right)^{\square} + C_s$（式 21）；$\Delta q = 2c\,(a - C_s)\cdot \arctan\!\left[\tanh\!\left(\dfrac{V}{2b}\right)\right] + C_s V$（式 22）。〔译注：式 (21)/(23) 中 sech 的上标在原 PDF 中显示为空框（字体缺字），按上下文为 c（c=1/c=2）；式 (22) 按 c=1 的数学结果应为 2b(a−Cs)·arctan(tanh(V/(2b)))（与式 (11) 一致，arctan(tanh(x/2)) 积分系数含 b），原文印作“2c(a−Cs)”、「待核实」是否为排版之误。〕

c = 2 例：$C = (a - C_s)\cdot\mathrm{sech}^2\!\left(\dfrac{V}{b}\right) + C_s$（式 23）；$C_P(V) = (a - C_s)\cdot\mathrm{sech}^2\!\left(\dfrac{V}{b}\right)$；$\Delta q_P = \int C_P\, dV = b(a - C_s)\tanh\!\left(\dfrac{V}{b}\right)$，$\Delta q_S = \int C_S\, dV = C_S V$；$\Delta q = \Delta q_P + \Delta q_S = b(a - C_s)\cdot\tanh\!\left(\dfrac{V}{b}\right) + C_S V$（式 24）。

A.1 开篇的对应电荷方程（式 (9) 之 c=1 情形）：$\Delta q(V) = 2b\,(a - C_s)\,\arctan\!\left[\tanh\!\left(\dfrac{V}{2b}\right)\right] + C_s V$（式 11）。

极化对容量的贡献（模型推导链）：由容量定义 C = dq/dV、电流定义 I = dq/dt 与电荷守恒：$I = A\dfrac{dP}{dt} + C_s\dfrac{dV}{dt} + I_0(V)$（式 12）。A 为电容有效面积；Cs 为纯电容贡献；I0(V) 为其他电压依赖贡献，如欧姆电流 I0(V) = V/R。由此实测容量：$C = A\dfrac{dP}{dV} + C_s + I_0(V)\dfrac{dt}{dV} = C_P + C_s + C_{0V}$（式 13、14）。CP 为偶极极化贡献，C0V 为漏电流或可能电化学效应等其他贡献。为简化，后续全部忽略 C0V。能很好建模商用陶瓷电容的实用方法是 $C = C_P + C_S$（式 15）。理想场依赖极化建模为：

$$P^+(E) = P_s \tanh\!\left(\frac{E - E_c}{2\delta}\right),\qquad \delta = E_C\,\frac{1 + \dfrac{P_r}{P_s}}{1 - \dfrac{P_r}{P_s}} \qquad \text{（式 16）}$$

（Pr、Ps 分别为剩余与自发极化 [13]。）饱和迟滞回线的负走分支 P−(E) 沿 x 轴平移：P−(E) = P+(−E)；为简洁后续省略下标。电场 E = V/d 正比于施加电压（d 为电容有效厚度）。由式 (15)(16)，铁电材料的理想容量为（第一项建模极化贡献、第二项为纯线性电容贡献；尚未含显式频率依赖——频率作为常参数，主要频率依赖量为 Cs(f) 与 Ps(f)；CP 的频率依赖可能与 Cs 不同，此模型未描述）：

$$C(V) = A\,\frac{P_s}{2\delta d}\,\mathrm{sech}^2\!\left(\frac{V - V_c}{2\delta d}\right) + C_s \qquad \text{（式 17）}$$

拟合实测 C(V) 时，式 (17) 可改写并代入拟合因子 a、b、VC、Cs：$C(V) = a\,\mathrm{sech}^2\!\left(\dfrac{V - V_C}{b}\right) + C_s$（式 18）。b 与 C(V) 的关系：$b = \dfrac{V - V_c}{\mathrm{arsech}\left(\sqrt{C(V) - C_s}\right)}$（式 19）。双曲正割与 C(V) 的积分：极化 Δq/A 或电荷变化 Δq 一般由 C(V) 积分得到：$\int (C_P + C_S)\,dV = \int dq_P + \int dq_S = \Delta q_P + \Delta q_S$（式 20）。

式 (3) 中 CP 的计算例（式 25，原 PDF 第 9 页照录）：

$$q_P = \int C_P\, dV = \left(\frac{a^*}{a_0}\right)\cdot\frac{7 \cdot b}{10}\cdot\tanh\!\left(\frac{V - V_C - \dfrac{V_{max}}{8}}{7b}\right) + \left(\frac{a^*}{a_0}\right)\cdot\frac{2 \cdot b^2}{30}\cdot\tanh\!\left(\frac{V - V_C - \dfrac{V_{max}}{8}}{2b}\right) + \left(\frac{a^*}{a_0}\right)\cdot\frac{2 \cdot b^2}{30}\cdot\tanh\!\left(\frac{V - V_C + \dfrac{V_{max}}{8}}{2b}\right) - C_s\cdot\frac{h}{10}\cdot V \qquad \text{（式 25）}$$

〔译注（原文内部不一致，照录）：式 (3) 首项为 sech²(10(V−VC)/(7b))，其积分按数学应为 (7b/10)·tanh(10(V−VC)/(7b))，而式 (25) 首个 tanh 宗量印作 (V−VC−Vmax/8)/(7b)（少了因子 10、多出 −Vmax/8）；且式 (3) 中间项宗量为 (V−Vmax/8+Vc)/(2b)，式 (25) 对应项却为 (V−VC−Vmax/8)/(2b)。“−Vmax/8” 与 “+VC” 的混用为原文排版不一致，「待核实」以原 PDF 版面为准。〕

拟合结果（Fitting Results）：表 2 基于对 REDEXPERT 设计平台数据用 Wolfram Mathematica 的 FindFit 函数拟合式 (3)。容量与电压的基准单位分别为 nF 与 V。所有拟合误差约 1% 或更低，远低于 MLCC ±10% 容量公差。测量由 Jon Izkue-Rodrigues 与 Eric Fischer 提供。

表 2：选定 Würth Elektronik MLCC（100 µF ~ 470 nF）的式 (3)/(5) 拟合结果（19 行全录）：

表 2 原注（全译）：拟合数据取自 REDEXPERT 设计平台；C-V 测量数据单位为 pF 与 V；矫顽电压设 Vc = 0；仅 h 与 b 用 Mathematica 最小化算法拟合；Cs、Vmax 与 a 直接取自实测 C-V 值——Cs 对应最大电压 Vmax（Cs = C(Vmax)）；a 是 V = 0 时的实测容量值（nF 单位）。〔译注：表头幂次按 pF 原始单位理解——a·10⁻³ 列数值即 a 的 nF 值（与标称容量一一对应：100000↔100 µF … 470↔470 nF，译者逐行核对）；Cs·10⁻⁴ 列 ×10⁻¹ 后为 Cs 的 nF 值（反推核对：885012109004 的 Cs ≈ 40.9 µF、a* = Cs·(h/10−1)+a ≈ 91.9 µF，自洽）。〕

A.2 参考文献（23 条，全译）

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（原文另载版权页与免责声明、USEFUL LINKS（应用笔记/REDEXPERT/Toolbox/产品目录）与联系方式；WE 产品未授权用于安全关键应用（军用、航空航天、核控、医疗等）——条款示意照录，以原 PDF 第 12 页为准。）

译者附注（全库视角）

1. LTspice 建模三步法（本篇的核心工程输出）：① 从 REDEXPERT/实测取 C-V 曲线，读出 a（V=0 容量）、Cs = C(Vmax)、VC（峰位）、Vmax；② 只拟合 b 与 h（式 3/4/5，RMSRE ~1%）；③ 用式 (25) 电荷方程（sech² 积分 = tanh）写成 LTspice 的 flux/charge 表达式——仿真软件需要的是“电荷 vs 电压”而非“容量 vs 电压”（式 6）。注意模型有效条件：交流幅度 < 额定电压 10%、初始态为退火后的随机极化态。
2. 两个必须记住的数：直流偏压下的畴壁钉扎可在 1000 h 内再消耗最多约 20% 容量（§02）；模型精度保障条件是交流探测幅度 ≤ 额定 10%（§06）。同型号两只 MLCC 的 C-V 也会互相偏离——降额设计别按单只曲线打满。
3. OCR/转写存疑点：① 原文第 5 页交叉引用失效（“Error! Reference source not found.”）为原 PDF 自带缺陷，非翻译引入；② 式 (21)/(23) 的 sech 上标 c 在原 PDF 中为空框缺字；③ 式 (25) 与式 (3) 的宗量不一致（详见正文译注）；④ 式 (22) 的“2c”系数按 c=1 数学应为“2b”；⑤ 表 1 参数 a = 1×10⁻⁵、Cs = 1×10⁻⁶ 的单位原文未注明（“as used for graphs in Figure 5 and Figure 6”），与表 2 的 nF 制不同，「待核实」。
4. 与库内联动：DC-bias 跌落对轻载纹波的影响——母线偏压越高、X7R/X5R 有效容量越低 → 输出纹波与 hold-up 双双恶化，选型流程见本家族 00_总览；NCP1568 EVM 母线侧 0.22 µF/450 V C3225X7T2W224K200AA 与钳位电容 0.1 µF/650 V CGA6L1X7T2J104K160AC（两者同为 X7T/Class 2，DC-bias 规律同样适用；若改用 C0G/Class 1 则无此效应，但容量密度骤降）见 NCP1568/05_EVBUM2734精译 BOM 表。

上一级：电容家族