数值说明：本文的代入数值为本库教学复算，用于说明计算过程与量级，不作为设计依据；引用的库内实例均标注出处（型号/文件号），通用公式标「教科书通识」。

第 06 讲 · 基尔霍夫定律与等效电路

本讲要解决什么问题

会运行仿真、会看波形，但被问到“这条支路的电流到底从哪来”就语塞；网络一超过三个节点，方程就列不下去——这是基础不牢的工程师最常见的两个缺口。

补齐它只需要两块石头加三件工具：

• KCL（基尔霍夫电流定律）：任一节点上电流代数和为零——本质是电荷守恒；
• KVL（基尔霍夫电压定律）：任一回路上电压代数和为零——本质是能量守恒。

电路里的一切方程——节点法、网孔法、传递函数、状态方程——追到底都是这两条守恒律。三件工具：列方程的系统方法（让手算有章法）、戴维南/诺顿等效（把复杂网络缩成一个源加一个电阻）、叠加原理（把多源问题拆成单源问题）。本讲所有概念都落到开关电源实例上。

读完本讲你应该能做到三件事：①对着任何一个节点、任何一个回路，机械地写出方程；②把分压链、光耦这类“源”缩成一个源加一个电阻；③说清楚为什么开关变换器不能直接套叠加原理。

1 KCL：节点电流代数和为零

1.1 定律与本质

$$\sum_k i_k = 0$$

对任一节点，流入电流之和等于流出电流之和（教科书通识）。本质是电荷守恒：节点只是导线交汇点，存不住电荷，进多少必须出多少。把节点推广成任意闭合面（比如整块电路板），就是“流入板子的净电流为零”——共模噪声走哪条路回家、测量接地为什么不能乱接，思路都从这里来。

电源里的直接体验：输出电容上“流入=流出”，负载电流与电感电流的差额决定电容充放电方向；一旦这一平衡被打破，电压就开始积分式漂移——KCL 的失衡就是电容充放电。

1.2 电源实例一：漏极节点的 KCL

反激 MOSFET 的漏极节点接三条支路：变压器初级电流 $i_P$（流入）、MOSFET 沟道电流 $i_{DS}$（流出）、钳位与 Coss 支路电流 $i_{clamp}$（流出）。KCL 要求：

$$i_P = i_{DS} + i_{clamp}$$

注意“看情况取项”：稳态导通段钳位支路几乎不流电流，方程退化为 $i_P = i_{DS}$；只在关断沿与振铃期间钳位项才接管差额——读波形时逐段使用 KCL 是基本功。

关键时刻是关断。条件：关断前初级电流 2 A，MOSFET 约 50 ns 内把 $i_{DS}$ 从 2 A 压到 0（本库教学复算）。初级电感电流一时半刻变不了，KCL 逼着差额全部涌进钳位支路——钳位电路存在的理由就一句话：给电感电流找一条能走的路。

若没有 RCD、只剩 Coss 承受：公式取关断沿内电流三角形面积 $Q = \frac{1}{2} \cdot i_P \cdot t$；代入 2 A 与 50 ns，得 $Q = 50$ nC。再设 Coss 折合 1 nF，由 $\Delta V = Q/C$ 得尖峰抬升约 50 V。量级感：漏感电压尖峰正是“KCL 要电流有路 + 电感电流不能突变”相撞的产物；钳位电容越大，尖峰越缓。

1.3 电源实例二：输入纹波电流在母线电容与电源之间的分配

条件：理想 Buck，Vin=10 V、Vout=4 V、D=0.40、Iout=2 A（本库教学复算，CCM 且忽略电流纹波）。输入节点的 KCL：电源电流 + 输入电容电流 = 开关管脉冲电流。

• 导通（占 0.4 个周期）：开关管抽取 2 A，电源只按平均值供 0.8 A（公式 $I_{in} = P_{out}/V_{in}$，代入 8 W÷10 V 得 0.8 A），缺口 1.2 A 由电容放电补上；
• 关断：开关管抽取 0 A，电源的 0.8 A 全部灌进电容充电。

稳态校验——电容一周期平均电流必须为零（KCL 在电容上的形式）：1.2×0.4=0.48，0.8×0.6=0.48，进出相抵 ✓。输入电容为什么必须按开关频率的纹波电流来选，依据就是这条 KCL。库内速查表用同一套关系给出 12→5 V 时 D=0.417（开关电源基础概念 速查表）。

2 KVL：回路电压代数和为零

2.1 定律与本质

$$\sum_k v_k = 0$$

沿任一闭合回路绕行一周，电压升与电压降的代数和为零（教科书通识）。本质是能量守恒：把单位电荷绕回路推一整圈，净做功必须为零，否则能量凭空生灭。

电源里的直接体验：某段回路的“电压代数和”不为零（比如忽略了续流管的压降），差额一定出现在未建模的元件上——仿真与实测的电压核算对不上，多半是漏了一项，而不是 KVL 错了。

2.2 电源实例一：功率回路电压环与伏秒平衡

Buck 开关管导通期间，功率回路的 KVL：

$$V_{in} - V_{DS} - V_{LP} - V_R = 0$$

略去管压降等小项，导通时电感电压 $V_{LP} = V_{in} - V_{out}$；关断期间续流回路给出 $V_{LP} = -V_{out}$。电感伏秒平衡（第 07 讲展开）要求一周期平均电感电压为零，否则电流线性爬升没有尽头：

$$(V_{in}-V_{out}) \cdot D = V_{out} \cdot (1-D) \quad\Rightarrow\quad V_{out} = D \cdot V_{in}$$

代入本例：导通 6 V×0.4=2.4 伏秒份，续流 4 V×0.6=2.4 伏秒份，收支相抵 ✓。各拓扑的输入输出电压关系式（Buck、Boost、反激）全是这条 KVL 推论的变体。

反激的关断平台电压是更硬气的 KVL：VDS = 母线电压 + 反射输出电压（反射输出电压 V_OR：次级电压按匝比折算回初级的值，教科书通识）。库内 65 W 五拓扑对比记载：五家的初级关断平台电压落在 477~507 V，规格 20 V/3.25 A、母线 ≈90~373 V DC（65 W 适配器五拓扑同规格对比）。这一平台电压就是绕功率回路一圈的 KVL 结果——由输入范围与匝比决定，不随拓扑改变。

2.3 电源实例二：栅极驱动回路

驱动器经栅极电阻到栅极、再经源极回驱动地，KVL 为 $V_{drv} = V_{Rg} + V_{GS} + V_{Lloop}$。回路电感项平时小，开关沿的 di/dt 却巨大——KVL 表明这部分电压必须由回路中某处承担：栅压过冲、关断时 VGS 被感应出负台阶、栅回路振铃，全是这条方程的图像。算例（本库教学复算）：条件为栅回路电感 100 nH、开通沿 10 ns 内驱动电流爬升到 1 A；公式 $V = L \cdot di/dt$；代入得电感项 10 V——与驱动电压同量级，足以激起栅压振铃。PCB 布局缩短栅极回路，本质就是把方程里的 L 压小。

3 列方程的系统方法

3.1 第零步：标参考方向

动手列方程前，先给每个未知电流画箭头、每个未知电压标极性。参考方向是人为约定，算出负号只说明“实际方向与参考相反”，不是错误（教科书通识）。示例：把流过输出电阻的电流参考方向标成“从地流向输出”，解出负值，含义只是实际电流方向与参考相反——负号自带信息，不必返工重标。真正的纪律是全篇一致：比如初级电流以流入同名端为正、漏极电流以流入漏极为正——前后不一致，调试时会掉进互相矛盾的符号地狱。

3.2 节点电压法：完整手推例

步骤：选地 → 未知量取节点电压（方程个数 = 非参考节点数）→ 每个非地节点写一条 KCL，支路电流用欧姆定律换成节点电压 → 解线性方程组。节点少、电源类型杂时首选。

例题（本库教学复算）：12 V 源经 R1=2 kΩ 接节点 A；A 经 R2=2 kΩ 接节点 B；B 经 R3=1 kΩ 接地；A 另经 R4=2 kΩ 接地。未知量 $V_A$、$V_B$。约定电压单位 V、电阻单位 kΩ，电流自然以 mA 计。

节点 A 的 KCL（流出之和=流入之和）：

$$\frac{V_A-12}{2} + \frac{V_A}{2} + \frac{V_A-V_B}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad 3V_A - V_B = 12$$

节点 B 的 KCL：

$$\frac{V_B-V_A}{2} + \frac{V_B}{1} = 0 \quad\Rightarrow\quad V_A = 3V_B$$

代入消元：$9V_B - V_B = 12$，得 $V_B = 1.5$ V、$V_A = 4.5$ V。

验算（KCL 逐节点）：R1 支路 (12−4.5)/2 = 3.75 mA 流入 A；R4 支路 4.5/2 = 2.25 mA、R2 支路 (4.5−1.5)/2 = 1.5 mA 流出 A，3.75 = 2.25+1.5 ✓；B 节点：流入 1.5 mA，R3 流出 1.5/1 = 1.5 mA ✓。

3.3 网孔电流法：完整手推例

步骤：设每个网孔一个顺时针环流（方程个数 = 网孔数）→ 每个网孔写一条 KVL，共用电阻上的电流取两网孔电流之差 → 解方程组。网孔少、电压源多时顺手。

例题（本库教学复算）：12 V 源串 R1=1 Ω 后，接两支并联电阻 R2=2 Ω、R3=2 Ω 回负端。网孔电流 $I_1$（左网孔，含源与 R1、R2）、$I_2$（右网孔，含 R2、R3），均设顺时针。

网孔 1 的 KVL：

$$-12 + 1 \cdot I_1 + 2 \cdot (I_1 - I_2) = 0 \quad\Rightarrow\quad 3I_1 - 2I_2 = 12$$

网孔 2 的 KVL：

$$2 \cdot (I_2 - I_1) + 2 \cdot I_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad I_1 = 2I_2$$

代入：$6I_2 - 2I_2 = 12$，得 $I_2 = 3$ A、$I_1 = 6$ A。支路电流：R1 走 6 A，R2 走 $I_1-I_2 = 3$ A，R3 走 3 A。

验算（并联合并反推）：R2∥R3 = 1 Ω，总电阻 1+1 = 2 Ω，总电流 12/2 = 6 A，两支路平分各 3 A ✓。

选择经验：节点少用节点法，网孔少用网孔法；电流源多时节点法更顺（电流直接写进 KCL），电压源多时网孔法更顺（电压直接写进 KVL）。

4 戴维南与诺顿等效

4.1 定理表述

任何由独立源、受控源与电阻组成的线性二端网络，从端口看进去都等效于：一个电压源 $V_{th}$ 串一个电阻 $R_{th}$（戴维南），或一个电流源 $I_N$ 并一个电阻 $R_N$（诺顿）（教科书通识）。用途：把剩余网络整体等效成一个源加一个阻抗，只研究所关心的那条支路。注意等效只保证端口外特性一致，网络内部的功率分配不必相同。工程直觉：任何拿不准的“源”（分压链、光耦、传感器输出、基准源）都先做一次戴维南再接入下一级——源内阻与后级阻抗的比值，决定这个源到底更像电压源还是电流源。

4.2 两步求法与互换

1. 开路电压：断开待求支路，端口电压即 $V_{th}$；
2. 等效内阻：独立源置零（电压源短路、电流源开路），从端口看进去的电阻即 $R_{th}$。

诺顿参数由换算直接得出：$I_N = V_{th}/R_{th}$、$R_N = R_{th}$；反过来 $V_{th} = I_N \cdot R_N$。两种形式随时互换（教科书通识）。

4.3 电源实例（重点）：反馈分压网络

输出电压经上分压电阻 R1、下分压电阻 R2 分压后送到 FB 节点。从 FB 节点看回去，分压链就是一个典型的戴维南源。公式（教科书通识的分压与并联公式）：

$$V_{th} = V_{out} \times \frac{R_2}{R_1+R_2}, \qquad R_{th} = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$$

算例（本库教学复算）。条件：Vout=12.5 V、R1=40 kΩ、R2=10 kΩ，选值目标 FB=2.5 V——TL431 内部基准 2.5 V（典型 2.495 V）（库内口径，见 开关电源基础概念 §8.2）。代入：$V_{th} = 12.5 \times 10/50 = 2.5$ V；$R_{th} = 400/50 = 8$ kΩ。结果：环路设计者看到的不再是“Vout 和两个电阻”，而是 2.5 V 源串 8 kΩ——分压比进增益表达式，Rth 才是 FB 节点与补偿网络对接的阻抗。

为什么分压电阻不宜取 MΩ 级：把 R1、R2 同乘 100（4 MΩ 与 1 MΩ），分压比不变、$V_{th}$ 仍是 2.5 V，但 $R_{th}$ 变成 800 kΩ。此时若有 100 nA 漏电流（PCB 表面漏电、湿气、基准端输入电流等）注入 FB 节点：偏移 = 100 nA×800 kΩ = 80 mV；折算回输出 = 80 mV×(R1+R2)/R2 = 80 mV×5 = 400 mV，约 3.2%——纯漏电流就足以破坏精度。高阻节点还更容易拾取邻近开关节点的耦合噪声，并与节点寄生电容形成更低的极点。工程上分压电阻常取 kΩ 到数十 kΩ 量级（业界常见做法），在损耗与抗扰之间折中。

诺顿视角看光耦拉电流：初级侧光耦三极管不是理想开关，而接近一个受控电流源：$I_C \approx \text{CTR} \times I_{LED}$，并联有限的输出电阻——正是诺顿源的形式。它从 FB 节点拉走电流，FB 的上拉电阻把电流翻译成电压；FB 节点自身的 KCL 即“上拉供入 = 光耦抽走 + 其他支路”。从诺顿到电压只有一步：抽走的电流 × FB 端口的等效电阻 = FB 电压的变化（教科书通识）——IC 手册里 FB 电流与占空比请求的对应关系，就是这条换算的产物。光耦抽流一旦超过上拉供给能力，FB 被拉到地，对应占空比请求压到下限。CTR 典型 100%~300% 量级（业界经验，分级差异大）（库内口径，出处同上）；FB 节点与分压采样的实战见 环路补偿与 TL431/光耦。

5 叠加原理

5.1 表述与算例

线性电路中，多个独立源共同作用的响应 = 各独立源单独作用响应的代数和；“单独作用”= 其余独立源置零（电压源短路、电流源开路），受控源保留不动（教科书通识）。

算例（本库教学复算）。条件：节点 A 经 R1=1 Ω 接 10 V 源，一个 2 A 电流源向 A 注入电流，A 经 R2=2 Ω 接地。

• 电压源单独作用（电流源开路）：分压 $V_A' = 10 \times 2/(1+2) = 6.67$ V；
• 电流源单独作用（电压源短路）：2 A 流入 R1∥R2 = 0.667 Ω，$V_A'' = 2 \times 0.667 = 1.33$ V；
• 叠加：$V_A = 6.67 + 1.33 = 8.0$ V。

验算（直接列 KCL）：$(8-10)/1 + 8/2 = 2$ A，恰等于电流源注入 ✓。

5.2 用途：直流工作点与纹波分开算

开关电源最值钱的叠加用法是分层：直流（大信号）解定工作点——D、平均电流、平均电压；纹波与扰动（小信号）解叠加在工作点之上。电感电流 = 直流分量 + 三角纹波，两者各算各的再相加；稳态解与扰动解分开处理，正是后续平均模型思想的第一课（第 15~16 讲展开）。两套解各自分工：直流解回答“变换器在哪里工作”，纹波解回答“高频代价多少”（磁芯损耗、EMI、输出纹波）——混读是看仿真最常见的错误。

5.3 失效条件：非线性不可叠加

叠加原理的前提是线性。二极管（约 0.7 V 拐点）、开关管（通/断两态翻转）、饱和电感（B-H 曲线弯曲）都是非线性元件——含它们的电路不能直接叠加。开关变换器周期性通断，本质上是非线性时变网络：想动用叠加与线性化工具，必须先把开关“平均掉”，换成一个周期内的等效受控源——这就是状态空间平均等平均法的动机，也是第 15~16 讲的主题。给工作多年者的推论：看仿真波形时，直流工作点与开关纹波要分开解读——前者由环路和负载决定，后者由拓扑和寄生参数决定。

6 统一图景

电荷守恒 ──→ KCL：节点电流代数和为零
能量守恒 ──→ KVL：回路电压代数和为零
                │
                ├─→ 系统方法：节点法（少节点）/ 网孔法（少网孔）
                │      └─→ 一切电路方程的机械来源
                ├─→ 等效化简：戴维南 ↔ 诺顿（网络 → 一个源 + 一个电阻）
                │      └─→ FB 分压网络、光耦拉电流
                └─→ 叠加原理（线性网络多源分解）
                       └─→ 直流工作点 + 纹波小信号 分开算
                             └─→ 开关变换器非线性 → 先平均再线性化（第 15~16 讲）

7 本讲速查

8 自检问题

1. 计算题：Vout=20 V，上分压电阻 R1=70 kΩ、下分压电阻 R2=10 kΩ。求 FB 节点的戴维南等效（Vth 与 Rth）；若有 200 nA 漏电流注入 FB 节点，输出电压偏移多少？
2. 概念辨析：有人把输出分压电阻从 40 kΩ/10 kΩ 换成 4 MΩ/1 MΩ，说“分压比没变，输出电压就不变，没有任何副作用”。指出他错在哪里，并给出至少两条副作用。
3. KCL 与 KVL 各对应哪条守恒律？把节点推广成闭合面后，KCL 的推广形式能解释什么工程现象？
4. 关断瞬间初级电感电流 2 A，而 MOSFET 沟道在 50 ns 内关断——用 KCL 解释：若钳位支路完全不存在，漏极电压会发生什么？
5. 同一个电路，什么时候优先用节点法、什么时候优先用网孔法？各举一个电源场景。
6. 戴维南等效为 Vth=10 V、Rth=5 Ω 的网络，写出它的诺顿等效。两种等效对外电路是否完全一样？

与库内文档联动

• 上一讲：第 05 讲 · 复数与欧拉公式
• 下一讲：第 07 讲 · 一阶电路暂态与时间常数
• 参考手册：电路原理通识
• 深入：环路补偿与 TL431/光耦（FB 节点与分压采样实战）

上一级：02_电路

自检题答案见：自检题参考答案