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数值说明：本文的代入数值为本库教学复算，用于说明计算过程与量级，不作为设计依据；引用的库内实例均标注出处（型号/文件号），通用公式标「教科书通识」。

第 07 讲 · 一阶电路暂态与时间常数

本讲要解决什么问题

第 05 讲末尾留了一句话：暂态不能用相量法，必须回到时域。本讲就是那个“时域工具”——而且是电源工程师用得最勤的一个。

三个每天都会撞上的问题：

三件事看似无关，其实是同一个数学模型：一阶电路的指数充放电，一个时间常数 τ 全部定调。把这一族方程吃透，上电时序、软启动、打嗝恢复的计算就都通了。

1 时间常数 τ：暂态的节拍器

1.1 两种一阶电路，一个 τ

RC 电路：电源经电阻给电容充电，电容电压从初值爬向终值。RL 电路：电感电流经电阻续流，从初值衰减到 0。两者的快慢各由一个时间常数决定：

电路 时间常数 物理来源
RC $\tau = RC$ 电阻越大充电越慢，电容越大存的电越多
RL $\tau = L/R$ 电感越大惯性越大，电阻越大泄放越快

「教科书通识」注意对偶性——R 在 RC 里“拦”、在 RL 里“泄”，角色相反。动笔前先问一句：这个电阻在回路里到底是限制充入，还是提供泄放？

关键口径（第 06 讲戴维南的直接应用）：τ 里的 R 是从储能元件两端看进去的戴维南等效电阻。电容挂在复杂网络里，先把网络缩成一个源加一个电阻，再用那个 R 乘 C。

1.2 为什么恰好是指数

对 RC 充电列 KVL：$V_S = Ri + v_C$，而 $i = C\,\mathrm{d}v_C/\mathrm{d}t$，合并得：

$$\frac{\mathrm{d}v_C}{\mathrm{d}t} = \frac{V_S - v_C}{RC}$$

变化率正比于“离终值还剩多远”——离得越近充得越慢。「教科书通识」：唯一满足这条性质的函数就是指数。这一个式子同时解释了 τ 为什么等于 RC（分母就是“量÷速率”）。

1.3 指数表：工程速算的根

指数衰减 $e^{-t/\tau}$ 每过一个 τ 就乘一次 $e^{-1} = 0.368$。下表按 $e^{-t/\tau}$ 逐行复算后填入（保留 1 位小数）：

经过时间 剩余比例 $e^{-t/\tau}$ 充电完成比例 $1-e^{-t/\tau}$
1τ 36.8% 63.2%
2τ 13.5% 86.5%
3τ 5.0% 95.0%
4τ 1.8% 98.2%
5τ 0.7% 99.3%

工程判据：3τ 认为“基本结束”（还剩 5%），5τ 认为“彻底结束”（还剩 0.7%）。这张表好记的原因还是第 05 讲那句话——指数函数求导还是指数函数：每一行都是上一行乘 0.368 的倍数链。

1.4 对偶视角：τ 是“储存量 ÷ 消耗速率”

同一个 τ 还有第二种算法，物理图景更直接：

$$\tau = \frac{\text{储存的量}}{\text{它被消耗的速率}}$$

注意口径：必须按“电荷/磁链”计，不能按能量计。若拿能量 $\tfrac{1}{2}CV^2$ 除以功率 $V^2/R$，得到 $\tfrac{1}{2}RC$——多出个 ½。时间常数按“量”与“速率”之比定义，能量的 ½ 是积分才出现的因子。

2 三要素法（本讲核心工具）

2.1 一条公式管所有一阶电路

「教科书通识」任何一阶电路（只含一个独立储能状态）的暂态响应都长一个样：

$$f(t) = f(\infty) + \left[f(0) - f(\infty)\right]e^{-t/\tau}$$

三个数定一条曲线，所以叫三要素：

要素 含义 怎么取
初值 f(0) 换路后瞬间 t=0⁺ 的值 电容电压、电感电流不能突变
终值 f(∞) 时间趋于无穷的稳态值 换路后电路稳定下来时的值
τ 时间常数 从储能元件两端看戴维南电阻

使用步骤就三步：定初值 → 定终值 → 定 τ，代入公式即完成。

2.2 手推例一：RC 充电（本库教学复算）

条件：12 V 源经 10 kΩ 电阻给 100 µF 电容充电，电容初始电压 0。

第一步，定初值：电容电压不能突变，$v_C(0) = 0$；电流可以突变，$i(0) = 12/10 = 1.2$ mA。

第二步，定终值：充满后电容相当于开路，电流归零，$v_C(\infty) = 12$ V。

第三步，定 τ：$R = 10$ kΩ、$C = 100$ µF，$\tau = RC = 1$ s。

代入三要素公式（τ=1 s，t 以 s 计）：

$$v_C(t) = 12 + (0 - 12)e^{-t} = 12\left(1 - e^{-t}\right)$$

验算两处：t=1 s 时 $12\times0.632 = 7.58$ V（63.2%，对表）；t=5 s 时 $12\times0.993 = 11.92$ V（99.3%，对表）。

追加一问：充到 11 V 要多久？由 $e^{-t} = 1-11/12 = 1/12$ 得 $t = \ln 12 = 2.49$ s。通式 $t = \tau\ln\dfrac{V_S}{V_S - v}$ 值得记住，第 3 节算 VCC 启动直接用。

2.3 手推例二：RL 放电（本库教学复算）

条件：开关断开前电感电流 2 A；断开后电流经 5 Ω 电阻续流成回路，L = 10 mH。

第一步，定初值：电感电流不能突变，$i(0) = 2$ A；此刻电阻电压 $2\times5 = 10$ V。

第二步，定终值：磁场能量耗尽后电流归零，$i(\infty) = 0$。

第三步，定 τ：$\tau = L/R = 10/5 = 2$ ms。

代入三要素公式（τ=2 ms，t 以 ms 计）：

$$i(t) = 0 + (2-0)e^{-t/2} = 2e^{-t/2}$$

验算两处：t=2 ms 时 $2\times0.368 = 0.74$ A；t=6 ms 即 3τ 时 $2\times0.050 = 0.10$ A（对表 5.0%）。降到 0.2 A（10%）需 $t = 2\ln 10 = 4.6$ ms。

能量核对（数字算两遍）：初始储能 $\tfrac{1}{2}LI^2 = \tfrac{1}{2}\times0.01\times4 = 20$ mJ；电阻耗散总量 $\int_0^{\infty}i^2R\,\mathrm{d}t = I_0^2R\cdot\tfrac{\tau}{2} = 4\times5\times0.001 = 20$ mJ。两条路同值，核算闭合。

2.4 两个易错点

易错一：τ 里的 R 用错。不是“图上那个电阻”，而是从储能元件两端看进去的戴维南电阻：两个电阻并联给电容充电，R 取并联值；续流回路里 R 取回路总电阻。

易错二：初值想当然。电容电压、电感电流是状态量，换路瞬间不突变；电阻电压、电容电流、电感电压是派生量，可以跳变。第 06 讲的 KCL/KVL 在 t=0⁺ 时刻照常成立，只是状态量被冻结了。

3 电源实例一：VCC 启动与保持

3.1 启动：RSTART 给 CVCC 充电（本库教学复算）

场景：265 VAC 整流后的峰值约 375 V（「教科书通识」），经 RSTART = 100 kΩ 给 CVCC = 47 µF 充电，目标是 UVLO 开启阈值 16 V（UC3842 档）。

三要素：初值 0 V；终值 375 V；$\tau = RC = 10^5\times47\times10^{-6} = 4.7$ s。

$$v_C(t) = 375\left(1 - e^{-t/4.7}\right)$$

充到 16 V：$e^{-t/\tau} = 1-16/375 = 0.9573$，$t = 4.7\times\ln(375/359) = 4.7\times0.0436 = 205$ ms。

换个式子复核：通式 $t = \tau\ln(375/359)$，其中 375/359 = 1.0446、ln ≈ 0.0436，乘 4.7 仍是 205 ms——两条路同值。

直觉核对：16 V 只占终值的 4.3%，指数曲线在这个位置几乎还是直线，捷径 $t \approx \tau\times(v/V_S) = 4.7\times0.0427 = 200$ ms，与精确值只差约 2%。目标远小于终值时，指数近似线性——这条捷径后面到处用。

顺带看电流与损耗：启动瞬间 $375/100 = 3.75$ mA，充到 16 V 时还剩 $359/100 = 3.59$ mA；而 RSTART 上的持续损耗 $375^2/100 = 1.4$ W 一直烧着——启动电阻是耗散件，辅助绕组必须尽早接管，这就是下一小节的“窗口”。

3.2 库内锚点：CVCC 接管窗口

UC3842/README 逐字引用：

“CVCC=120 µF 时从 16 V 掉到 10 V 可撑约 45 ms”

同出 UC3842/README 的上下文：辅助绕组接管前的放电是工作电流与栅驱充电电流的合计（README 给出工作电流 11 mA 量级，总电流 = 工作电流 + Qg×fSW；UVLO 开/关 16 V/10 V，6 V 迟滞 × CVCC = 接管前的全部能量预算），并且 README 把“CVCC 接管窗口 45 ms”列为第一大陷阱（打嗝根因）——软启动和辅助绕组接管必须在这 45 ms 内完成。

口径声明：这是库内值，口径是“合计放电”，不要用单一电流重算它——芯片电流不是常数，栅驱充电还是脉冲性的。教学上记住量级与结论即可：辅助绕组必须在几十毫秒量级内把 CVCC 充回 UVLO 关断阈值以上。

3.3 教学例：恒流放电算保持时间（与库内值分开呈现）

把同一问题简化成恒流放电（口径与上不同，仅教学）：C = 47 µF、放电电流 10 mA、从 16 V 掉到 10 V：

$$t = \frac{C\,\Delta V}{I} = \frac{47\times10^{-6}\times6}{0.01} = 28.2\ \text{ms}$$

电荷核对：放掉的电荷 47 µF×6 V = 282 µC，除以 10 mA 得 28.2 ms，一致。

对比：教学例 47 µF、10 mA 得 28 ms；库内 120 µF、合计放电得 45 ms。电容更大、口径不同，两个数不矛盾，也不可互相换算；工程判断以库内口径（UC3842/README，DS §7.3.5/02 §3.1）为准。

4 电源实例二：软启动斜坡与故障恢复

4.1 恒流充电：线性斜坡

软启动电容由 IC 内部恒流源充电，不是经电阻充电。恒流下电容电压线性爬升：

$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \frac{I}{C}$$

（本库教学复算）I = 10 µA、C = 100 nF：斜率 $= 10^{-5}/10^{-7} = 100$ V/s = 0.1 V/ms，爬到 1 V 需 $C\times1/I = 10$ ms。

与 RC 充电的本质区别：RC 是指数、先快后慢；恒流是直线、匀速。恒流充电相当于把指数曲线初始斜率那段直线拉到底——RC 充电最初一瞬的电流 $I_0 = V_S/R$ 对应斜率 $I_0/C$，恒流源就是把 $I_0$ 一直保持住。软启动要的可预测性正来自这个线性度：若用 RC 指数方式建立基准，前快后慢，启动冲击反而集中在头几个毫秒。

4.2 打嗝重启：两段拼接

故障打嗝的周期 = 放电段 + 重启充电段，两段各用一件工具：

（本库教学复算，续用 §3.1 参数）放电段取 12 mA：$t = 47\times6/12 = 23.5$ ms（实际关断后电流更小、时间更长，取值只为算式干净）。充电段：初值 10 V、终值 375 V、τ=4.7 s，由 $375-365e^{-t/\tau} = 16$ 得 $e^{-t/\tau} = 359/365 = 0.9836$，$t = 4.7\times0.0166 = 78$ ms。

打嗝周期 ≈ 23.5 + 78 ≈ 101 ms，即约 10 Hz 的重启节奏——示波器上看到的“呼吸”样间歇波形就是这么形成的。库内把 45 ms 接管窗口列为打嗝根因：辅助绕组若在窗口内接管失败，电路就落进这个周期。

5 电源实例三：自举电容与去耦电容

这两个电容算的不是“充到多少”，而是“掉多少”——同一族方程在小时间尺度上的用法。

5.1 自举电容：每周期掉 ΔV = Qg/C

高侧驱动靠自举电容供电，每个开关周期被放掉栅极电荷：

$$\Delta V = \frac{Q_g}{C_{boot}}$$

（本库教学复算）Qg = 30 nC、C_boot = 0.1 µF：每周期掉 $30\times10^{-9}/10^{-7} = 0.3$ V。补充发生在低侧导通（自举二极管导通）的刷新窗口，平均补充电流 = Qg×fSW = 30 nC×100 kHz = 3 mA。

判断口径：每周期掉 0.3 V、每周期都补，收支相抵才稳。若连续多个周期没有刷新窗口（如占空比逼近满、低侧长期不导通），自举电压会一路滑向驱动欠压。这呼应第 05 讲的阻抗表：驱动回路阻抗要低，本质是让“补”始终快过“漏”。

5.2 去耦电容：支撑负载阶跃 ΔV = I·t/C

负载阶跃到稳压器响应之间的空窗期，由去耦电容承担：

$$\Delta V = \frac{I\cdot t}{C}$$

（本库教学复算）1 A 阶跃、稳压器 10 µs 后补上、C = 100 µF：$\Delta V = 1\times10\times10^{-6}/100\times10^{-6} = 0.1$ V。

一句话总结：自举算“每周期掉多少”（周期性），去耦算“空窗期掉多少”（一次性），公式同源——电荷守恒 $\Delta Q = I\cdot t$。

6 统一图景

一阶暂态（一个储能状态 + 一个耗散通道）
   └─→ 三要素：初值、终值、τ
         ├─→ VCC 启动：RC 指数充电（目标远小于终值时近似线性）
         ├─→ VCC 保持/打嗝：恒流放电 ΔV=I·t/C + 带初值的指数回充
         ├─→ 软启动：恒流充电 dV/dt=I/C（指数初始斜率的拉直）
         └─→ 自举/去耦：小时间尺度只问掉多少（电荷守恒）

呼应第 05 讲的伏笔：「教科书通识」一阶系统在拉普拉斯域的极点是 $s = -1/\tau$——相量法丢弃的实部 σ，在暂态里就是主角。指数表、三要素、$\Delta V = I\cdot t/C$，全是这一件事的不同投影。

7 本讲速查

记不住就查这张表 内容
τ 的定义 完成总变化的 63.2% 所需的时间
RC 电路 $\tau = RC$，R 取从 C 看进去的戴维南电阻
RL 电路 $\tau = L/R$
三要素法 $f(t) = f(\infty) + [f(0)-f(\infty)]e^{-t/\tau}$
工程判据 3τ ≈ 95% 算结束，5τ ≈ 99.3% 算彻底结束
指数变线性 目标远小于终值时 $t \approx \tau\times$(目标/终值)
恒流充放电 $\mathrm{d}V/\mathrm{d}t = I/C$，$\Delta V = I\cdot t/C$，斜坡是线性的
电荷守恒两用 $\Delta V = Q_g/C$（自举，周期性）、$\Delta V = I\cdot t/C$（去耦，一次性）
打嗝周期 ≈ 放电段 + 带初值的重启充电段
极点视角 一阶极点 $s = -1/\tau$，σ 主角（第 05 讲伏笔）

8 自检问题

  1. 375 V 经 100 kΩ 给 47 µF 充电：τ 等于多少？充到 16 V 约多少毫秒？为什么线性捷径在这里够用（16 V 只占终值百分之几）？
  2. 同样是电容充电，为什么算 VCC 启动必须用完整指数、算保持时间可以用 $\Delta V = I\cdot t/C$？各自的前提条件是什么？
  3. 例二的 RL 电路初始储能 20 mJ。用“电流衰减到 3τ 表值、能量按电流平方缩”估算 3τ 时刻电感里还剩多少能量？
  4. 有人说“软启动电容越大越保险”。用 $\mathrm{d}V/\mathrm{d}t = I/C$ 说明：电容过大对 45 ms 接管窗口意味着什么？
  5. 库内锚点：UC3842/README 说“CVCC=120 µF 时从 16 V 掉到 10 V 可撑约 45 ms”。这个 45 ms 的放电口径是什么？为什么不允许用单一电流重算它？
  6. 自举电容每周期掉 0.3 V 且每周期都补。写出两种“补不回来”的工况，并用 τ 的对偶视角（储存量÷消耗速率）说明你会从哪一侧下手改。

与库内文档联动

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自检题答案见：自检题参考答案

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