稳定性判据的边界 —— 条件稳定、采样不稳定与“波特图上看不见的振荡”

给“会量 PM/GM、会整定，但想知道这两个数什么时候不可信”的工程师。库内链条已经齐了：01_控制原理通识 §5 讲判据的出处（奈奎斯特→波特图的工程简化）；03_环路补偿与TL431光耦 §1.2 给了 PM/GM 的定义、验收口径与相位预算表；04_环路实测与整定流程 §4 讲一张测量截图怎么读。本篇收最后一层：判据成立的前提是什么、哪些不稳定在平均模型的波特图上必然看不见、以及看见图之后还要做哪几道复核。分工要点：01 讲为什么、03 讲怎么补、04 讲怎么测，本篇讲什么时候会判错。

全篇沿库内锚点走：UC3842 48 W 反激（fc≈1.77 kHz=fRHPz/4、PM≈67°、Se=44.7 mV/µs，UC3842 04 篇）、NCP1680 EVM 报值（8~11 Hz、70°、>14 dB，见 04 篇 §4.3）、Buck ESR 仿真系列（40_仿真验证/sim/03_buck_esr/）、65 W 五拓扑带宽对照（04_65W适配器五拓扑同规格对比）。

数据规范（本类总纲）：教科书公式标「教科书通识」；代入例为本库教学复算并明示；工程近似逐处标注；推断标「待核实」并登记总表；严禁编造。

术语说明：波特图 = 伯德图 = Bode plot，本库统一用「波特图」「相位裕量 PM / 增益裕量 GM」（不用“裕度”）。

0 本篇速览：六个问题

简述版：波特图判据是奈奎斯特判据的“快查卡”，快查卡有适用范围。范围之外的三类陷阱——多穿越、采样、延时——恰好都藏在开关电源最常见的地方。

1. 复习垫层：从奈奎斯特到波特图，简化丢了什么

1.1 严格判据与简化判据（教科书通识）

教科书通识：

• 奈奎斯特判据（严格版）：开环无右半平面极点（P=0，开关电源平均模型通常满足——注意 RHP 零点不是极点，不改变 P）时，闭环稳定 ⇔ 环路增益 T(jω) 的极坐标轨迹不包围 −1 点。
• 波特图简化版：当 ① 系统是最小相位；② |T| 与 0 dB 只有一次穿越；③ 相位随频率单调下降——三条同时成立时，等价于只看 fc 处 PM>0（工程口径 ≥45°）与相位穿 −180° 处 GM>0（工程口径 ≥10 dB）。
• 简化丢掉的东西：前提①排除了 RHP 零点与延时这类“增益正常、相位多扣”的非最小相位因素；前提②③排除了多穿越与条件稳定。这三个前提在开关电源里都可能被打破——分别对应 §5、§2、§4。

1.2 库内口径对表（本篇不重复定义）

1.3 PM 的定量回报：阻尼比与超调（教科书通识＋本库复算）

03 篇 §1.2 的“PM ↔ 阶跃响应”表是定性档位（业界经验）。想要定量，把环路在 fc 附近近似成“积分器＋一个主导极点”的标准二阶像（电流模式单极点功率级的典型形状）：

$$T(s)=\frac{\omega_n^2}{s\,(s+2\zeta\omega_n)}\quad\Rightarrow\quad PM=\arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}},\qquad \sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%$$

代入复算（本库教学复算，无量纲）：

三条工程结论：

• “PM≈100·ζ”只在 ζ≤0.6（PM≤60°）好用，往高了别再拿它反推 ζ；
• 「PM=60° ⇒ 基本无过冲」的量产口径与 σ≈9.5% 自洽——9.5% 的过冲在示波器上是“一次小鼓包”，不是零；
• 反向用法：实测负载阶跃振铃 3 拍以上 → ζ<0.35 → PM 大概率 <45°，与 04 篇 §6.2 的土办法（阶跃看恢复）互相印证。

适用边界（重要）：这套映射只对“积分器＋单主导极点”准。真实环路带 ESR 零点、光耦极点、RHP 零点时，ζ 只是“有效阻尼”的比喻，数值粗略（本库整理/业界经验）。它与 03 篇 §1.2 档位表冲突时，以实测阶跃为准。

2. 边界一：条件稳定 —— 每个穿越点 PM 都 >0，闭环照样不稳

2.1 定义（教科书通识）

教科书通识：条件稳定（conditionally stable）系统指只在一个有限的环路增益范围内稳定的闭环——增益太低不稳、太高也不稳，中间一段才稳。它的波特图特征是 |T| 与 0 dB 多次穿越（典型 3 次）或相位多次穿过 −180°。对这类系统，“fc 处 PM=60°、−180° 处 GM=10 dB”两个数不足以下结论，必须回到奈奎斯特圈数，或做增益平移扫描（§2.4）。

2.2 开关电源怎么“造”出多穿越（本库整理/业界经验）

| 机制 | |T| 形状变化 | 高发场合 | |---|---|---| | 低阻尼 LC 峰（电压模式） | 谐振点 |T| 冲上 0 dB 以上形成第 1 次穿越，其后回落 | 输出用陶瓷/低 ESR 电容、轻载 | | III 型双零点提升 | 中频段 |T| 被拉起形成“鼓包” | 电压模式需要 >90° 相位提升时 | | 光耦极点＋积分器 | 高频相位二次下穿 −180° | 光耦极点落在 fc 附近（03 篇 §1.2 例 3 的极端版） | | CCM/DCM 边界 | 功率级增益形状随负载突变 | 轻载掉出 CCM |

2.3 为什么“换个输入电压就振”

线压、负载、光耦 CTR 档位、电解 ESR 老化，最终都以“环路增益整体乘一个系数 K”的形式起作用：K 变化 = |T| 曲线上下平移。

• 单穿越系统：平移只是让 fc 左右挪，PM 连续变化，好预报；
• 多穿越系统：平移会让穿越点“生灭”——中间穿越段整体浮上 0 dB，新穿越点落在相位已经很差的频段，PM 从 +50° 跳到 −10° 只差一档 CTR。

这就是“常温额定输入好好的、低温高输入就振”的典型根因之一（另一常见根因是 03 篇 §8.2 的 ESR 老化让零点搬家——同属“形状变了”一类）。

2.4 判读规程：四步增益扫描（工程口径/本库整理）

1. 数穿越：|T| 与 0 dB 的穿越次数、相位与 −180°（±360°）的穿越次数。各 1 次 → 按简化判据走（04 篇 §4.2），完事；
2. ≥2 次 → 停用快查卡，改做增益平移扫描：把 |T| 上下平移 ±6 dB（覆盖元件容差＋CTR 档位＋ESR 新旧），每一档重新数穿越、重量每个穿越点的 PM 和每个 −180° 点的 GM；
3. 全档位都满足 03 篇 §1.2 口径 → 过；任何一档不满足 → 压带宽或改补偿形状（消灭鼓包），不要靠“手头这台不响”放行；
4. 仍拿不准 → 用 .ac 数据直接画奈奎斯特图数 −1 点圈数（仿真做法见 05_反激环路波特图实战），一步到位。

3. 边界二：GM 的真伪 —— “无穷大”什么时候是真话

3.1 GM=∞ 的两种来源（教科书通识＋本库整理）

• 相位单调且渐近 −180°：电流模式的典型形状（积分器 −90° ＋ 单极点 −90°），相位趋近 −180° 但不过线 → GM 形式上无穷大。数据手册写 ">60 dB" 或 "∞" 都是真话，不是漏测。
• 测量频带不够：注入变压器/网络分析仪上限之外没有数据——“没测到 −180°”≠“没有 −180°”。报 GM 必须带频带口径（04 篇 §3.1）。

3.2 GM 真正要紧的三类场景（本库整理）

3.3 闭环峰值快筛 Mr（教科书通识＋本库复算）

不想数穿越时，先看闭环参考增益/输出阻抗的峰值 $M_r=\max\left|\frac{T}{1+T}\right|$。二阶近似下 $M_r=\dfrac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$（ζ≤0.707）：

快筛口径（工程惯例）：闭环峰值 <2（6 dB）基本安全，>3（9.5 dB）必有振铃。Mr 在仿真里一条 .ac 曲线就能读，适合当第一道闸门——但它和 PM 一样有 §2 的多穿越盲区，是筛查指标，不是最终判据。

4. 边界三：平均模型看不见的不稳定 —— 次谐波/快尺度振荡

4.1 峰值电流模式是“每周期采一次样”的离散系统（教科书通识）

电感电流每个开关周期被比较器采样一次。对电流扰动做一拍一拍的离散分析（推导见 UC3842 06 篇 · SLUA143）：

$$\frac{\Delta i(n+1)}{\Delta i(n)}=-\frac{S_f-S_e}{S_r+S_e}\quad\Rightarrow\quad \text{稳定要求 }\left|\frac{S_f-S_e}{S_r+S_e}\right|<1\ \Leftrightarrow\ S_e>\frac{S_f-S_r}{2}$$

（Se=斜坡补偿斜率，Sr/Sf=电感电流上升/下降斜率幅值。）对 Buck 型 Sr=(VIN−VO)/L、Sf=VO/L：D>0.5 ⇔ Sr<Sf ⇔ 必须加斜坡补偿——“占空比过半要补斜坡”的出处就在这一行不等式，不在波特图上。

4.2 为什么平均模型波特图必然看不见（教科书通识）

平均模型的有效频带到 fsw/2 附近为止（01 篇 §8 的采样直觉在此变成硬边界）：它把“一拍一拍”的离散动态平均掉了，fsw/2 附近的采样不稳定落在有效频带之外——波特图画得再漂亮也原理上不含这个信息。所以：

• 平均模型的 PM=67°（UC3842 例）与“会不会次谐波振荡”无关，两套判据各管各的；
• 现场特征：振荡频率在 fsw/2 附近（110 kHz 的 UC3842 例 → 约 55 kHz 的“嘶”声/纹波怪相），且轻载掉入 DCM 后自动消失（DCM 无此机制，03 篇 §2.4）。

4.3 判据替代与库内锚点

替代判据就是 §4.1 的一拍映射不等式——离散域判据，不需要波特图。库内锚点：UC3842 官方例的 Se=44.7 mV/µs（UC3842 04 篇 口径），对应其 110 kHz 反激参数的斜坡补偿核算。注意斜坡补偿的另一面：电流环增益被压低、瞬态变慢——“斜坡取多少”要和 fc 一起定（03 篇 §2.3）。

4.4 仿真的分工（本库整理）

在平均模型上找次谐波 = 在被裁掉的频带里找东西，仿真白跑。

5. 边界四：延时 —— 只吃相位、不吃增益的“隐形税”

5.1 公式（教科书通识）

纯延时 td 的频率响应是 $e^{-s t_d}$：增益恒为 0 dB，相位 −360°·f·td。它不改变任何斜率——幅频曲线上完全隐形，只在相频曲线上整体下压。

5.2 数字电源的延时账（本库教学复算）

数字环路的 td ≈ 采样保持＋计算＋PWM 装载，典型 0.5~1.5 拍（业界经验）。取 100 kHz（Tsw=10 µs）、td=1.5 拍=15 µs：

fc = 5 kHz  →  φd = −360° × 5000 × 15µ  = −27°
fc = 10 kHz →  φd = −54°
fc = 20 kHz →  φd = −108°   （比一个落在 fc 的光耦极点还狠）

反着用就是规矩：数字环路 fc 通常压在 fsw/15~fsw/20（模拟电流模式可到 fsw/5~fsw/10，工程口径）——不是数字“算得慢”，是延时税随 fc 线性变贵。03 篇相位预算表里“采样/延迟/杂散 −5°~−10°”那行是模拟电源的量级；数字电源请按上式单算，别套 5~10°。

5.3 与 04 篇 §1.3 的分账

“设计给 60°、实测 20°”的差距清单里，延时是设计阶段就该扣掉的项（04 篇 §1.3 讲的是测量与实物之间的差距）——两本账别记混。

6. 收口：简化判据的四道复核（操作清单）

拿到一张（实测或仿真）开环波特图，在报“PM/GM 达标”之前：

1. 数穿越：|T| 与 0 dB 的穿越次数、相位与 −180°(±360°) 的穿越次数。各一次 → 快查卡可用（04 篇 §4.2）；多次 → 进 §2.4 增益扫描；
2. 扫角落：至少（低线＋满载）、（高线＋满载）、（额定＋轻载）三点各判一遍——等价于把 K 平移了三档；元件容差/CTR 档/ESR 新旧用 ±6 dB 覆盖；
3. 查非最小相位：RHP 零点（CCM 反激/Boost/Buck-Boost）→ fc ≤ fRHPz/4；数字链路 → 延时账（§5.2）在预算表里单列一行；
4. 查采样：峰值电流模式且 Dmax>0.5 → 斜坡补偿按 §4.1 不等式核——这项与波特图无关，单独过。

什么时候该升级工具：多穿越且扫描档位间结论不一致 → 画奈奎斯特图；要定量预测数字电源的离散行为 → 离散域建模（库内暂无此篇，补齐前用增益扫描兜底）。

7. 与库内锚点对账

8. 易错清单（五条）

1. 单点判稳：只测额定输入满载一个点——条件稳定在别的角落等着（§2.3）；
2. 把 GM=∞ 当测错：最小相位＋相位单调系统的正常读数，但要写清频带口径（§3.1）；
3. 用平均模型找次谐波：原理上看不见；核斜坡补偿要回到离散不等式（§4.2）；
4. 数字电源套模拟预算表：延时税单算，“−5°~−10°”那行不是给你的（§5.2）；
5. 把 PM↔超调表当精确公式：只对“积分器＋单主导极点”准；带 ESR 零点/光耦极点/RHP 零点时是量级参考（§1.3）。

相关篇目

• 上一级：基础理论导览 · 控制理论板块
• 判据出处与极点零点直觉：01_控制原理通识
• 定义、验收口径与整定：03_环路补偿与TL431光耦
• 测量与判读操作：04_环路实测与整定流程
• 数学侧铺垫：数学专题三 · 数学专题五