数值说明：本文的代入数值为本库教学复算，用于说明计算过程与量级，不作为设计依据；引用的库内实例均标注出处（型号/文件号），通用公式标「教科书通识」。

第 01 讲 · 函数、指数对数与三角函数

本讲要解决什么问题

电源工程里每天都在用三样东西：$e^x$、$\log$、$\sin\cos$。多数人知道它们“高中学过”，但说不清它们各自在干什么、为什么这样用。本讲把三者的作用讲清楚，为后面四讲（导数、积分、泰勒、复数）铺好语法。

先说一句结论：$e^x$ 负责“累积与衰减”，$\log$ 负责“把倍数变可加”，$\sin$ 负责“描述往复运动”。电源里的所有数学，做的都是这三件事的组合。

1 函数：自变量与因变量

1.1 定义与工程直觉

函数就是“给它一个输入，它还你一个确定的输出”：

$$y = f(x)$$

$x$ 叫自变量（你给进去的），$y$ 叫因变量（它还给你的）。

电源里几乎每个关系都是函数：

$$V_o = f(V_{in},\ D,\ f_{sw},\ L,\ C)$$

意思是：输出电压由输入电压、占空比、开关频率、两个储能元件共同决定。这七个量确定了，输出就唯一确定——这就是“函数”的含义。

1.2 多元函数：逐个固定，看单个量的影响

当函数有多个自变量时，实用做法是逐个固定其余变量，只让一个变化，看输出怎么变：

这个“固定其余、动一个”的动作有一个数学名字：偏微分（多元函数的导数），在第 02 讲末尾讲。本讲只需记住这个习惯。

1.3 自变量不一定是时间

初学者常以为函数的自变量只能是时间 $t$。在电源里自变量可以是：

这一点很重要：后面讲的“导数”在频率域里的含义是“斜率”，在温度域里是“温度系数”。数学工具是通用的，物理含义取决于你把哪个量当自变量。

2 复合函数：工程里几乎全是复合

2.1 定义

$h(x) = f(g(x))$，先算 $g(x)$，再把结果代入 $f$。这叫复合函数。

工程里几乎看不到“单纯”的函数，全是嵌套的。举一个真实例子（65 W 反激，输出纹波）：

$$\Delta V_{out} = \underbrace{\frac{\Delta I_L}{8 f_{sw} C}}_{g(\Delta I_L,\, f_{sw},\, C)} + \underbrace{\Delta I_L \cdot ESR}_{f(\Delta I_L)}$$

而 $\Delta I_L$ 本身又是 $V_{in}$、$D$、$L$、$f_{sw}$ 的函数：

$$\Delta I_L = g_1(V_{in},\, D,\, L,\, f_{sw})$$

于是 $\Delta V_{out}$ 实际是四层复合。掌握复合的拆解能力，比掌握任何单个公式都重要——因为工程问题永远是嵌套的。

2.2 为什么要能“拆开”

因为要回答“哪个因素影响最大”就得逐层往里看。工具是链式法则（第 02 讲）与偏微分（第 02 讲末尾）。

3 指数函数：描述累积与衰减

3.1 $e^x$ 是什么

$e^x$ 是自然指数函数，$e = 2.71828\ldots$ 是自然对数的底。

图像特征：过点 $(0,1)$、单调递增、$x$ 越大增长越快。$e^{0.1}\approx1.105$、$e^{1}\approx2.718$、$e^{10}\approx22026$。

3.2 关键性质：$e^{\ln x} = x$

这一条是指数与对数互逆关系的体现，也是下一节的基础。

3.3 电源里的指数：一切充放电

电容充电是最典型的例子。设初始电压 $V_0$、终值 $V_\infty$、时间常数 $\tau$：

$$v(t) = V_\infty + (V_0 - V_\infty)e^{-t/\tau}$$

三个常见场景：

读曲线的方法：$t = \tau$ 时 $e^{-1} = 0.368$，即完成 63.2%。“63% 上升时间”就是时间常数——这个数字你一定在规格书里见过（如 $\tau = RC$）。

3.4 耗散过程的共性

不管是电容充电、磁芯退磁、还是电感电流衰减，形式都是 $e^{-t/\tau}$，原因都是指数衰减满足微分方程 $\dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{x}{\tau}$。这个方程在第 02、03 讲会详细推。

记住结论就够：自然界里“按固定比例减少”的过程，都是指数；线性减少（每秒减少固定量）才是直线。

4 对数：把倍数变成可加

4.1 定义与唯一重要性质

$$\log_a b = c \iff a^c = b$$

唯一需要背的性质：

$$\log(ab) = \log a + \log b,\qquad \log\frac{a}{b} = \log a - \log b$$

以及幂的形式 $\log a^n = n\log a$。

为什么这条如此重要：乘法变成加法。也就是说，任何“连乘”的关系，取对数后就变成“连加”。工程里大量关系本质是连乘的。

4.2 电源里的第一个应用：dB

分贝的定义就是取对数：

$$20\log_{10}\frac{U_2}{U_1}$$

在波特图上，横轴频率常用对数刻度（10 Hz、100 Hz、1 kHz 每格），纵轴用 dB。这样乘性关系（各级放大倍数的乘积）就变成了加性关系（各级增益相加）——这才是对数坐标存在的根本理由。

4.3 第二个应用：效率与损耗的差距

两台电源，效率 90% 与 80%，差多少？

结论：效率从 90% 提到 95% 只涨 5 个百分点，但损耗降到一半。损耗是对数关系，效率不是——这是电源设计里最容易被误导的一句话。

工程含义：要“把损耗减半”，比“把效率提高几个点”更准确、更可执行。

4.4 第三个应用：时间常数与频率的换算

$$\tau = RC,\qquad f = \frac{1}{2\pi\tau}$$

这是个“反比”关系，取对数后：

$$\log f = -\log\tau + \text{常数}$$

在对数坐标上，反比关系变成一条直线。波特图上 $RC$ 环节画成 $-20\ \text{dB/dec}$（每十倍频程下降 20 dB）的直线，就是这个性质的直接后果。

5 三角函数

5.1 弧度制：为什么微积分偏爱弧度

三角函数有两种角度制：角度制（$360°$ 一圈）与弧度制（$2\pi$ 一圈）。

弧度制的定义：弧长等于半径时对应的圆心角。这样定义的好处是——微积分里的三角函数用弧度时导数公式最干净：

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x\quad \text{（弧度制下）}$$

若用角度制，会多出一个 $\dfrac{\pi}{180}$ 的因子。本课程一律用弧度制，遇到 $\sin(2\pi f t)$ 这类式子时，$2\pi f$ 就是“角频率”，单位是 rad/s。

5.2 正弦：往复运动的数学描述

$$v(t) = V_m\sin(\omega t + \varphi)$$

电源里正弦出现在：市电输入、谐振腔的谐振电流、开关节点振铃、纹波的主要成分。

5.3 关键直觉：任何形状都能拆成正弦之和

这是傅里叶的核心思想，也是傅里叶与频域通识的全部基础：

工程后果：任何“不干净的”电压电流波形，都会向低频与高频同时“泼”能量——这就是 EMI 的来源，也是滤波器要分级的原因。

6 电源里最常见的三种波形

把前三节合起来看：

电源工程的数学，本质上就是这三者的组合与变换。

7 本讲速查

8 自检问题

做不出就回看，不要往下走。

1. 一个函数可以有多个自变量吗？电源里举一个多自变量的例子，并说明“研究单个因素影响”时该怎么做。
2. 为什么说“损耗是对数关系”？把 88% 和 96% 的损耗倍数算出来。
3. RC 电路从 0 V 充到 5 V，$t=\tau$ 时电压是多少？再问 $t=3\tau$ 时大约是多少？
4. 一个频率为 100 Hz 的正弦，角频率是多少（弧度制）？写出来。
5. 方波里为什么没有偶次谐波？（提示：看它关于 $t = T/2$ 的对称性）
6. 为什么波特图的纵轴要用 dB 而不是倍数？

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